随笔分类 -  编码理论 / 二、线性码

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2.9 编码渐进界
摘要：\(RS(k,q):=\{f(\alpha_1),\cdots,f(\alpha_q)|f\in L_{k-1}\}\) 。（\(L_{k-1}\)是\(\mathbb{F}_q[x]\)上次数小于等于\(k-1\)的多项式集合）对于不同的\(f\) ，像这样的赋值映射天然是线性映射，所以我们可以考 阅读全文
posted @ 2025-03-14 14:02 沙棘数学社 阅读(105) 评论(0) 推荐(0)
2.8 循环码的根，BCH码
摘要：现在介绍循环码的又一种刻画方式。 定义 1 设 \(C\) 是以 \(g(x)\) 为生成式的 \(q\) 元循环码, 则 \(g(x)\) (在 \(\mathrm{F}_q\) 的扩域中)的根也叫作循环码 \(C\) 的根。 以下设 \(C\) 的码长 \(n\) 与 \(q\) 互素。这时, 阅读全文
posted @ 2024-07-08 16:58 沙棘数学社 阅读(93) 评论(0) 推荐(0)
2.7 循环码
摘要：用移位循环的方式构作码我们已经见过很多次(例如例$1.2.6$、定理$2.4.1$等等),这让我们感到需要对这类码进行系统的研究。本节我们介绍循环码的一种看待方式————视作商环$R=\mathrm{F}_q[x] /\left(x^n-1\right)$的元素,并且把集合$\mathrm{F}_q 阅读全文
posted @ 2024-07-07 23:19 沙棘数学社 阅读(350) 评论(5) 推荐(0)
2.6 二元里德-米勒码
摘要：本章介绍一类二元线性码, 它是由里德 $(Reed)$ 和米勒$(Muller)$ 于 $1954$ 年独立给出的,今后简记为 $\mathrm{RM}$ 码. 这种二元线性码的构造需要布尔函数的一些知识. 定义 1 设 \(m\) 为正整数. 一个 \(m\) 元布尔函数 \(f=f\left(x 阅读全文
posted @ 2024-07-03 20:05 沙棘数学社 阅读(212) 评论(0) 推荐(0)
2.5 多项式码
摘要：本章用有限域上的多项式来构造一批好的线性码, 它们都是 $MDS$ 码, 即达到 $Singleton$ 界 $n=k+d-1$. 我们假设读者比较熟悉关于多项式的一些记号和部分简单的结论。重要的结论我们会再次提及。 引理 1(带余除法) 设 \(f(x), g(x) \in F_p[x], g(x 阅读全文
posted @ 2024-07-03 15:00 沙棘数学社 阅读(102) 评论(0) 推荐(0)
2.4 戈莱码
摘要：现在介绍戈莱于 1949 年发现的两个完全线性码, 后人称作戈莱码. 一个 \(p\) 元完全码的最小距离 \(d\) 一定是奇数 \(2 l+1\) (\(1.3\) 节习题 \(6\))并且达到汉明界,即 \[p^{n-k}=\sum_{i=0}^l(p-1)^i\binom{n}{i}, \] 阅读全文
posted @ 2024-07-03 02:41 沙棘数学社 阅读(113) 评论(0) 推荐(1)
2.3 线性码的对偶性
摘要：定义 1 设 \(\boldsymbol{a}=\left(a_1, \cdots, a_n\right)\) 和 \(\boldsymbol{b}=\) \(\left(b_1, \cdots, b_n\right)\) 是 \(F_p^n\) 中的向量. \(\boldsymbol{a}\) 和 阅读全文
posted @ 2024-07-02 17:32 沙棘数学社 阅读(265) 评论(1) 推荐(0)
2.2 汉明码
摘要：本节的目标是给出一系列线性完全码, 叫做汉明码 $(Hamming~code)$. 首先,我们有两类平凡的完全线性码： \((1)\) \(q\) 元线性码 \([n, n, 1]\), 即 \(C=\mathrm{F}_q^n\) 。易知这是完全码。 \((2)\) 对于 \(n=2 l+1, q 阅读全文
posted @ 2024-07-01 17:45 沙棘数学社 阅读(119) 评论(0) 推荐(0)
2.1 生成矩阵和校验矩阵
摘要：定义 1 一个码长为 \(n\) 的 \(p\) 元码 \(C\) 叫做线性码, 是指 \(C\) 是向量空间 \(F_p^n\) 的向量子空间,即 \(C\) 满足如下的性质: 对于 \(F_p\) 中任意元素 \(\alpha\)和 \(\beta\), 如果 \(\boldsymbol{c}_ 阅读全文
posted @ 2024-06-30 23:24 沙棘数学社 阅读(1439) 评论(0) 推荐(0)