Morphis · 山河一卷

摘要： 扩展中国剩余定理 使用场景 跟中国剩余定理相同，假设现在有多个同余线性方程，要你求解满足线性方程的最小正整数解，但是不保证每一个方程组的模数互质。 这时候我们就不能简单地用中国剩余定理直接计算了，思考一下，假如前k个，我们找到了答案x，想要继续满足第k+1个，我们需要让x不断地加上前k个模数的lcm 阅读全文

摘要： Lucas定理 Lucas 定理的数学公式长这样：$$C_N^M \equiv C_{N \bmod p}^{M \bmod p} \times C_{\lfloor N/p \rfloor}^{\lfloor M/p \rfloor} \pmod p$$你看这个公式，\(\bmod p\) 不就是 阅读全文

摘要： 欧拉函数 欧拉函数 \(\phi(n)\) 的数学灵魂定义：\(\phi(n)\) 表示在 \([1, n]\) 范围内，与 \(n\) 互质的整数的个数。它是数论中最基础的函数之一，具有三个在代码状态转移中极为关键的性质（它是一个积性函数）： 性质 1（质数基底）：如果 \(p\) 是质数，那么除 阅读全文

摘要： 线性基 线性基可以理解为：用尽量少的一组数，表示原集合所有“子集异或和”。 1. 核心思想 把一个整数看成二进制向量，例如： 3 = 011 5 = 101 6 = 110 异或相当于二进制向量的“加法”： 3 ^ 5 = 6 所以 {3, 5, 6} 里，6 是多余的，因为它能由 3 ^ 5 表示 阅读全文

摘要： P3811 【模板】模意义下的乘法逆元 题目背景 这是一道模板题。 题目描述 给定正整数 \(n,p\)，求 \([1,n]\) 中所有整数在模 \(p\) 意义下的乘法逆元。 \(a\) 模 \(p\) 的乘法逆元定义为 \(ax\equiv1\pmod p\) 的解。 输入格式 一行两个正整数 阅读全文

摘要： 来源 中国剩余定理其实并不神秘，它在中国古代有一个非常接地气的名字，叫做“韩信点兵”。第一步：直觉与物理意义 —— 韩信点兵传说韩信带兵，他不直接去数有多少人，而是让士兵排阵：士兵 3 人一排，多出 2 人。士兵 5 人一排，多出 3 人。士兵 7 人一排，多出 2 人。韩信看了一眼，就知道了总人数 阅读全文

摘要： 扩展欧几里得算法（Extended Euclidean Algorithm，简称 ExGCD）是数论中非常核心的算法。在处理组合数学问题、计算多重集排列组合的取模运算时，它通常是计算乘法逆元的首选工具。普通的欧几里得算法（辗转相除法）只能用来求两个数的最大公约数：\(\gcd(a, b) = \gc 阅读全文

摘要： 题解：最大化分割子集和的 GCD 题目解析 给定连续整数集合 \(\{a,\ a+1,\ a+2,\ \dots,\ a+b-1\}\)，将其分成两个非空子集，求两个子集和的最大公约数的最大可能值。 枚举 首先我们考虑暴力，枚举子集的复杂度为\(2^n\),故不行，所以我们考虑优化。 核心数学推导 阅读全文

摘要： P14003 [eJOI 2025] Reactions 题目描述 Nicky 正在进行化学反应性的实验。他准备了 \(N\) 个实验，编号为 \(0\) 到 \(N-1\)。现在他需要选择一个起始实验，然后他将执行所有编号不小于所选编号的实验。换言之，若他决定从编号为 \(S\) 的实验开始，他将 阅读全文

摘要： 莫比乌斯函数的定义 要学会莫比乌斯反演，首先我们得明白，莫比乌斯函数的定义是什么 莫比乌斯函数（Möbius 函数）定义为： 首先我们知道，任何一个数都可以用若干个素数相乘表示，对于莫比乌斯函数，如果存在一个素数的次幂大于1，那么莫比乌斯的函数值为0，否则的话就定义k为互异素因子的个数，莫比乌斯函数 阅读全文