SOSDP(多维前缀和）

在状态压缩 DP 中，我们经常会遇到这样的问题：
给定一个数组 \(A\)，我们需要求一个新的数组 \(F\)，使得 \(F[mask]\) 等于 “\(mask\) 的所有子集”（或超集）的 \(A\) 值之和。
数学表达：\(F[mask] = \sum_{sub \subseteq mask} A[sub]\)
暴力枚举子集的复杂度：\(O(3^N)\) （当 \(N=20\) 时，计算量约 34 亿，必然 TLE）。
SOS DP 的复杂度：\(O(N \cdot 2^N)\) （当 \(N=20\) 时，计算量约 2000 万，跑得飞快！）。

核心思想

对于每一个二进制，我们把他当成n维空间的一个坐标，每次只关注一个维度，让数据在这一个维度上流动，循环n次，数据就自动汇聚到了终点

1. 严谨的状态定义（二维）定义 dp[i][mask] 表示：在状态 mask 的子集中，只有最右边的 \(i\) 位可以和 mask 不同，第 \(i\) 位往左的高位必须和 mask 严格一致的所有子集之和。
2. 状态转移方程我们现在要推导 dp[i][mask]（处理到了第 \(i\) 位，当前状态是 mask）：
   情况 A：mask 的第 \(i\) 位是 0那么它的子集在第 \(i\) 位也必须是 0。所以前 \(i\) 位能产生的子集，和前 \(i-1\) 位一模一样。dp[i][mask] = dp[i-1][mask]
   情况 B：mask 的第 \(i\) 位是 1它的子集在这一位既可以是 1，也可以是 0。所以把它拆成两部分：第 \(i\) 位是 1 的子集之和 + 第 \(i\) 位是 0 的子集之和。dp[i][mask] = dp[i-1][mask] + dp[i-1][mask ^ (1 << i)]
3. 终极空间优化（一维滚动）因为 dp[i] 的状态只依赖于 dp[i-1]，我们完全可以像“01背包”那样，把第一维 i 砍掉，原地滚动更新！并且，因为我们用的是上一层（第 \(i-1\) 层）的异或状态，不论是正向遍历 mask 还是逆向遍历，都不会产生数据污染（因为提供数据的格子在这个循环里是只读的）。

三、 标准代码模板（直接默写，必背！）

模板 1：求子集和（要求越来越低）特征：1 去拿 0 的数据。场景：求所有属于我子集的值的和（例如：技能比我少的人的集合）。

// 假设最大状态数有 N 位二进制 (N=20)
int N = 20;
int max_mask = 1 << N;
// F[mask] 初始存放原数组的值 A[mask]

// ⚠️ 极其重要：外层循环必须是维度 i，内层循环必须是状态 mask！
for (int i = 0; i < N; ++i) { 
    for (int mask = 0; mask < max_mask; ++mask) {
        // 如果我的第 i 位是 1
        if (mask & (1 << i)) { 
            // 我就去把第 i 位是 0 的兄弟（子集）拿过来
            F[mask] += F[mask ^ (1 << i)];
        }
    }
}
// 运行结束后，F[mask] 里装的就是 mask 所有子集的和

模板 2：求超集和（要求越来越高）特征：0 去拿 1 的数据。场景：求所有包含了我的超集的值的和（例如：通关科目包含我的人的集合）

int N = 20;
int max_mask = 1 << N;
// F[mask] 初始存放原数组的值 A[mask]

for (int i = 0; i < N; ++i) {
    for (int mask = 0; mask < max_mask; ++mask) {
        // 如果我的第 i 位是 0 (注意前面有个 !)
        if (!(mask & (1 << i))) { 
            // 我就去把第 i 位是 1 的老哥（超集）拿过来
            // 注意：这里可以用 F[mask ^ (1<<i)] 也可以用 F[mask | (1<<i)]
            F[mask] += F[mask | (1 << i)];
        }
    }
}
// 运行结束后，F[mask] 里装的就是 mask 所有超集的和

四、 进阶心法：

正难则反（De Morgan's Law）有时候题目要求解的是“超集”，但我们不想写模板 2，或者我们对求“子集”更顺手，怎么办？利用集合论的定律：如果集合 \(A \supseteq B\)（A是B的超集），那么它们的补集一定满足 \(\complement A \subseteq \complement B\)。操作步骤（求超集转化为求子集）：输入时取反：不再记录“拥有的正向技能”，而是记录“缺失的缺点（补集）”。bad_mask = ((1 << N) - 1) ^ mask;把初始值存入 F[bad_mask]。跑子集模板：一字不改，直接跑上面的【模板 1】。查询时取反：想查状态 k 的超集和，直接去查它补集的子集和：ans = F[((1 << N) - 1) ^ k]。总结：求超集 = 数据取反存入 + 求子集 + 补集查询。