树状数组板子

P14003 [eJOI 2025] Reactions

题目描述

Nicky 正在进行化学反应性的实验。他准备了 \(N\) 个实验，编号为 \(0\) 到 \(N-1\)。现在他需要选择一个起始实验，然后他将执行所有编号不小于所选编号的实验。换言之，若他决定从编号为 \(S\) 的实验开始，他将按顺序进行实验 \(S, S+1, \ldots, N-1\)。

在开始进行起始实验之前，他有一容器溶液，其温度为 \(0\) 度。在第 \(i\) 个实验（\(0 \le i \le N-1\)）中，他按如下顺序执行两步：

1. 将溶液温度改变一个给定的整数温度值（可以升高、降低任意整数，或保持不变）；
2. 进行实验并检查是否发生反应。

已知在第 \(i\) 个实验中，温度会改变 \(D_i\) 度——若 \(D_i>0\) 则升高，若 \(D_i<0\) 则降低，若 \(D_i=0\) 则不变。并且，仅当当前温度（完成第 1 步后的温度）大于等于 \(T_i\) 时，第 \(i\) 个实验才会发生反应。注意，无论是否发生反应，第 1 步造成的温度变化都会保留并影响后续实验。

Nicky 希望发生反应的次数尽可能多，以便收集尽可能多的数据。请帮助他计算这一最大次数。

实现细节

你需要实现函数 reactions：

int reactions(int N, std::vector<int> D, std::vector<long long> T)

• \(N\)：计划进行的实验数量；
• \(D\)：长度为 \(N\) 的整数向量，其中 \(D_i\) 表示第 \(i\) 个实验的温度变化量；
• \(T\)：长度为 \(N\) 的整数向量，其中 \(T_i\) 表示第 \(i\) 个实验发生反应所需的最低溶液温度。

该函数在每个测试中被调用一次。它需要返回在恰当选择起始实验的前提下，最多能发生的反应次数。

输入格式

无

输出格式

无

输入输出样例 #1

输入 #1

5
1 1 -3 1 1
1 3 5 1 2

输出 #1

2

输入输出样例 #2

输入 #2

5
1 -3 0 3 2
0 -2 -1 0 3

输出 #2

4

说明/提示

示例 1

考虑如下调用：

reactions(5, {1, 1, -3, 1, 1}, {1, 3, 5, 1, 2})

如果 Nicky 选择从编号为 \(3\) 的实验开始，溶液温度会变为 \(1\)，满足该次实验发生反应的条件。下一次实验温度升至 \(2\)，再次发生反应。由于不可能得到超过 \(2\) 次反应，函数应返回 \(2\)。

示例 2

考虑如下调用：

reactions(5, {1, -3, 0, 3, 2}, {0, -2, -1, 0, 3})

函数应返回 \(4\)，因为若从编号为 \(0\) 的实验开始，Nicky 会在编号为 \(0, 1, 3, 4\) 的实验中观测到反应。温度自 \(0\) 度起，在每次实验后的温度依次为：\(1, -2, -2, 1, 3\)。

约束

• \(1 \le N \le 500\,000\)
• \(-10^9 \le D_i \le 10^9\)
• \(-10^{15} \le T_i \le 10^{15}\)

子任务

子任务	分值	依赖子任务	附加约束
0	0	-	样例。
1	15	0	\(N \le 2000\)
2	15	0	满足 \(D_i<0\) 的下标 \(i\) 至多有 \(20\) 个。
3	20	-	对每个 \(0 \le i < N\)，\(D_i \le 0\)
4	20	0	答案至多为 \(20\)。
5	30	0–4	无附加约束。

翻译由 ChatGPT-5 完成。

翻译题意

通过因式分解，然后七七八八的结论就可以推理出要求出
sum是前缀和数组
然后我们现在相当于对于每一个单点，对于j>i的的区间都要进行查询，然后我们进行离散化，所以我们把sumj-tj离散化，ti也离散化，因为每次查询的是区间i到n，然后对这一段区间进行修改，在进行单点查询，复杂度都是lgn，然后大概就写完了。
具体还得看一下树状数组，

#define lowbit(x) (x&(-x))

	i64 tr[M<<2];

	inline void change(i64 x) {
		for (; x <= cnt; x += lowbit(x))
			tr[x]++;//修改上面结点的值
	}
	inline i64 query(i64 x) {
		i64 ans = 0;
		for (; x; x -= lowbit(x))
			ans += tr[x];//查询对应结点的值
		return ans;
	}
}seg;