摘要：已知函数$f(x)=\dfrac{6{\ln}x}{x}$,关于$x$的不等式$f^2(x)+af(x)+b^2 0$有且仅有一个整数解,则实数$a$的取值范围是$\underline{\qquad\qquad}.$ 解析: 函数$f(x)$的图象如图所示 经分析易知$$ \lim_{x\to 0^
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10 2019 档案
摘要：已知$\triangle ABC$的内角$A,B,C$所对的边分别为$a,b,c$,若$a=\sqrt{2}$,$b^2 c^2=6$,则角$A$最大时,$\triangle ABC$的面积等于$\underline{\qquad\qquad}.$ 解析: 法一 由题有$$ \begin{split
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摘要：已知$k 0,b 0$,且$\forall x 4,kx+b\geqslant {\ln}(x+4)$,则$\dfrac{b}{k}$的最小值为$\underline{\qquad\qquad}.$ 解析: 将原题条件重新叙述$:$ $$\forall x 0,k(x 4)+b {\ln}x\geq
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摘要：若对于任意正实数$x$,都有${\ln}x a\mathrm{e}x b+1\leqslant 0$成立$(\mathrm{e}$为自然对数的底数$)$,则$a+b$的最小值为$\underline{\qquad\qquad}.$ 解析 记题中所给不等式左侧为$f(x)$.显然$a 0$,否则,总存
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摘要：如图,已知抛物线的方程为$x^2=2py,p 0$,过点$A\left(0, 1\right)$作直线$l$与抛物线相交于$P,Q$两点,点$B$的坐标为$(0,1)$,连结$BP,BQ$,且$QB$,$BP$与$x$轴分别相交于点$M,N$,$QB$与抛物线交于另一点$E$,如果$QB$的斜率与$
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摘要：已知点$P$为直线$l:x= 2$上任意一点,过点$P$作抛物线$y^2=2px(p 0)$的两条切线,切点分别为$A(x_1,y_1)$,$B(x_2,y_2)$,则$x_1\cdot x_2=(\qquad)$ $\mathrm{A}.2$ $\qquad\mathrm{B}.\dfrac{p^
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摘要：在平面上,$\overrightarrow{AB_1}\perp\overrightarrow{AB_2}$,$\left| \overrightarrow{OB_1}\right|=\left| \overrightarrow{OB_2} \right|=1$,$\overrightarrow{A
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摘要：已知函数$f(x)=\dfrac{x^2+2{\ln}x+3}{x}+m$,若$\exists x_0\in\left[\dfrac{1}{4},+\infty \right)$,使得$f(f(x_0))=x_0$,则$m$的取值范围是$\underline{\qquad\qquad}$. 解析:
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摘要：设函数$f(x)=\sqrt{\mathrm{e}^x+x a},a\in\mathbb{R},\mathrm{e}$为自然对数的底数,若曲线$y=\sin x$上存在点$\left(x_0,y_0\right)$使得$f\left(f\left(y_0\right)\right)=y_0$成立,则
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摘要：设函数$f(x)=x\mathrm{e}^{a x}+bx$,其中$\mathrm{e}$为自然对数的底数,$a,b$为常数,且函数$f(x)$的极值点为$x=1$,最大值为$1$. $(1)$ 求$a,b$的值; $(2)$ 若$f(x_1)=f(x_2)$,且$x_1\mathrm{e}$. 解
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摘要：已知函数$f(x)=a\mathrm{e}^x x{\ln}x$ $(a 0)$. $(1)$ 当$a=1$时,判断并证明函数$f(x)$在区间$[1,+\infty)$上的单调性; $(2)$ 若函数$f(x)$在$[1,+\infty)$上有零点,且正实数$a$的最大值为$m$,求证:$\dfr
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摘要：已知函数$f(x)=\mathrm{e}^x\left(x \dfrac{a}{x} 2\right)$ $(0,+\infty)$,其中$\mathrm{e}=2.71828\cdots$是自然对数的底数. $(1)$ 求函数$f(x)$的递增区间$;$ $(2)$ 若函数$f(x)$为定义域上的
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摘要：已知函数$f(x)=x 1+\dfrac{a}{\mathrm{e}^x}$,$(a\in\mathbb{R},\mathrm{e}$为自然对数的底数$)$. $(1)$ 若曲线$y=f(x)$在点$(1,f(1))$处的切线平行于$x$轴,求$a$的值$;$ $(2)$ 求函数$f(x)$的极值;
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摘要：已知双曲线$\dfrac{x^2}{a^2} \dfrac{y^2}{b^2}=1$ $(a 0,b 0)$的左,右焦点分别为$F_1( c,0)$,$F_2(c,0)$,直线$x=m$交双曲线于$A,B$两点,且$AF_2\perp BF_1$,$AF_2$与$y$轴的交点为$C(0, 3b)$,
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摘要：已知$A( \sqrt{3},0)$,$B(\sqrt{3},0)$,$P$为圆$x^2+y^2=1$上的动点,$\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{PQ}$,过点$P$作与$AP$垂直的直线$l$交直线$QB$于点$M$,则$M$的横坐标范围是$(\qquad)
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摘要：若平面向量$\left| \boldsymbol{a}\right|=2$,$\left| \boldsymbol{b}\right|=3$,$\left| \boldsymbol{e}\right|=1$,且$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b} \boldsymbo
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摘要：设函数$f(x)={\ln}x+\dfrac{1}{2}x a,a\in\mathbb{R}$,若存在$b\in\left[1,\mathrm{e}\right]$,$\mathrm{e}$为自然对数的底数,使得$f\left(f\left(b\right)\right)=b$, 则实数$a$的取值
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摘要：已知函数$f(x)=(2x+a)\left(|x a|+|x+2a|\right)$ $(a0,k=1,2,\cdots 336.$$则$$ F\left(k+\dfrac{a}{2}\right) F\left[ \left(673 k+\dfrac{a}{2}\right)\right].$$从
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摘要：设$f(x)$是定义在$\mathbb{R}$上的奇函数,且当$x\geqslant 0$时,$f(x)=x^2$,若对任意的$x\in\left[t,t+2\right]$,不等式$f(x+t)\geqslant 2f(x)$恒成立,则实数$t$的取值范围是$(\qquad) $ $\mathrm
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摘要：在平面四边形$ABCD$中,已知$AB=1$,$AC=\sqrt{5}$,$BD\perp BC$,$BD=2BC$,则$AD$的最小值为$\underline{\qquad\qquad}.$ 解析: 法一 如图,固定$AC$边长,则点$B$在以$A$点为圆心,以$1$为半径的圆上运动, 若记$\a
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摘要：如图所示,在平面四边形$ABCD$中,$AB=1$,$BC=2$,$\triangle ACD$为正三角形,则$\triangle BCD$面积的最大值为$\underline{\qquad\qquad}$. 解析: 将$BC$边固定,则$A$点在以$B$为圆心,$1$为半径的圆上运动, 由于$\t
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摘要：设$f(x)={\ln}(x+1),g(x)=\mathrm{e}^x 1$. $(1)$ 证明:$x\geqslant 0$时,$\dfrac{2x}{x+2}\leqslant f(x)\leqslant x$; $(2)$ $x\geqslant 0$时,$f(x)\cdot g(x)\geq
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摘要：已知$f(x)=x^2+(1 2a)x a{\ln}x$ $(a 0)$有两个零点$x_1,x_2$. $(1)$ 求$a$的取值范围$;$ $(2)$ 求证$: x_1x_2 1$. 解析: $(1)$ 原题等价于下述函数有两个零点$$ g(x)=\dfrac{2x+{\ln}x}{x^2+x}
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摘要：已知椭圆$C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ $(a b 0)$的离心率为$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$,短轴长为$4$. $(1)$ 求椭圆$C$的方程; $(2)$ 过点$N(0,2)$作两条直线,分别交椭圆$C$于$A,B$两点(异于$N$
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摘要：在平面直角坐标系$xOy$中,动点$M$与两定点$( \sqrt2,0)$,$(\sqrt2,0)$连线的斜率之积为$ \dfrac 12$. $(1)$ 求动点$M$的轨迹$E$的方程; $(2)$ 过点$(2,2)$作$E$的两条切线,切点分别为$A,B$,过点$P\left(\dfrac{1}
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摘要：若$\forall x\geqslant 1,x^{a+1}\mathrm{e}^x+a{\ln}x\geqslant 0$,则$a$的最小值为$\underline{\qquad\qquad}$. 解析: 由题首先考察$a0$,且题中不等式等价于$$ \forall x\geqslant 1,x\
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摘要：定义在封闭的平面区域$D$内任意两点的距离的最大值称为平面区域$D$的``直径''.已知锐角三角形的三个顶点$A,B,C$在半径为$1$的圆上,且$\angle BAC=\dfrac{\pi}{3}$,分别以$\triangle ABC$各边为直径向外作三个半圆,这三个半圆和$\triangle A
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摘要：三个顶点均在椭圆上的三角形称为椭圆的内接三角形,已知点$A$是椭圆的一个短轴端点,如果以$A$为直角顶点的椭圆内接等腰直角三角形有且仅有三个,则椭圆的离心率的取值范围是$\underline{\qquad\qquad}$. 解析: $\triangle ABC$与椭圆如图所示,不妨设椭圆方程为$$
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