每日一题_191017

已知\(A(-\sqrt{3},0)\),\(B(\sqrt{3},0)\),\(P\)为圆\(x^2+y^2=1\)上的动点,\(\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{PQ}\),过点\(P\)作与\(AP\)垂直的直线\(l\)交直线\(QB\)于点\(M\),则\(M\)的横坐标范围是\((\qquad)\)
\(\mathrm{A}. |x|\geqslant 1\) \(\qquad\mathrm{B}. |x|> 1\) \(\qquad \mathrm{C}.|x|\geqslant 2\) \(\qquad \mathrm{D}.|x|\geqslant \dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
解析:
如图所示,容易知道


$PM$直线垂直平分$AQ$线段,因此$|AM|=|QM|$,并且根据位似知识容易知道$$ |QB|=2|OP|=2.$$从而$$ \left ||MA|-|MB|\right |=\left | |MQ|-|MB|\right |=|QB|=2.$$因此$M$点的轨迹是以$A,B$为左右焦点,以$(-1,0),(1,0)$为左右端点的双曲线上,从而$M$的横坐标的取值范围为$$|x|\geqslant 1.$$