若\(\forall x\geqslant 1,x^{a+1}\mathrm{e}^x+a{\ln}x\geqslant 0\),则\(a\)的最小值为\(\underline{\qquad\qquad}\).
解析: 由题首先考察\(a<0\)的情形,设\(t=-a\),则\(t>0\),且题中不等式等价于$$
\forall x\geqslant 1,x\mathrm{e}^x\geqslant xt{\ln}xt.$$
构造函数\(F(x)=x\mathrm{e}^x\),显然\(F(x)\)在\([0,+\infty)\)单调递增,因此上述不等式等价于$$
F(x)\geqslant F\left({\ln}x^t\right).$$而\(x>0,{\ln}x^t\geqslant 0\).因此题中不等式等价于$$
\forall x\geqslant 1,x\geqslant {\ln}x^t=t{\ln}x.$$所以$$a=-t\geqslant -\mathrm{e}.$$
