随笔分类 - 学习笔记
摘要：NLC AK IOI 前置芝士：KMP 模式匹配 强烈推荐 N 总写的博客！！！！ KMP 算法，又称模式匹配算法，能够在线性时间内判定字符串 \(A[1]\)~\(A[N]\) 是否为字符串 \(B[1]\)~\(B[M]\) 的字串，并求出字符串 \(A\) 在字符串 \(B\) 中各次出现的位
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摘要：定义 设 $\max(S)$ 为集合 S 中的最大值， $\min(S)$ 为集合 $S$ 中的最小值，$|S|$ 为集合 S 的元素数量，那么有以下两个等式： $$\max(S)=\sum_{T \subseteq S} (-1)^{|T|+1} \min(T)$$ $$\min(S)=\sum_
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摘要：大步小步算法 BSGS（baby-step giant-step），即大步小步算法。常用于求解离散对数问题。该算法可以在 $O(\sqrt{p})$ 的时间内求解 $$a^x \equiv b \pmod p$$ 其中，$a \perp p$。方程的解满足 $0 \leq x <p$。 算法描述 令
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摘要：定义 中国剩余定理（Chinese Remainder Theorem，CRT） 可求解如下形式的一元线性同余方程组（其中 $n_1,n_2,\cdots,n_k$ 两两互质）： $$\begin{cases} x \equiv a_1 \pmod {n_1} \ x \equiv a_2 \pmo
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摘要：费马小定理： 当 $a,p \in \mathbb{Z} $ 且 $p$ 为质数，$a \not\equiv 0 \pmod{p} $ 时，有： $$a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}$$ 故 $a^b \equiv a^{b \mod (p-1)} \pmod{p}$ 欧拉定理：
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摘要：定义 Manacher 算法是一种支持在 $O(n)$ 时间内求出一个长度为 $n$ 的字符串的最长回文子串的算法。 需要注意的是，Manacher 算法只能求形如 aabbcbbaa 类的回文串，而不能处理形如 aabbbbaa 类的回文串，也就是只能求长度为奇数的回文串。所以，在最初需要对原串进
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摘要：引入 对于数论问题中的一些函数 $f(n)$，如果很难直接求出它的值，却容易求出其倍数和或约数和 $g(n)$，那么可以通过莫比乌斯反演化简运算，求得 $f(n)$ 的值。 定义 $\mu$ 为莫比乌斯函数，定义如下： $$\mu(n)=\begin{cases} 1，n=1 \ 0，n含有平方因子
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摘要：原题链接 题意 对于一个长度为 $n$ 的排列 $P = (p_1, p_2, \ldots, p_n)$ 和整数 $k \ge 0$，定义 $P$ 的 $k$ 次幂 $$P^{(k)} = \left( p^{(k)}_1, p^{(k)}_2, \ldots, p^{(k)}_n \right)
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摘要：引入 考虑一个基本问题：给定序列 $a_n,b_n$，求出序列 $c_n$，满足 $c_i=\sum_{j \oplus k=i} a_jb_k$，其中 $\oplus$ 是一种二元运算符，形如上式的问题一般被称为卷积。 当 $\oplus$ 为 $+$ 时即为一般的卷积（和卷积），当 $\oplu
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摘要：简介 在数值分析中，拉格朗日插值法是以法国18世纪数学家约瑟夫·拉格朗日命名的一种多项式插值方法。如果对实践中的某个物理量进行观测，在若干个不同的地方得到相应的观测值，拉格朗日插值法可以找到一个多项式，其恰好在各个观测的点取到观测到的值。上面这样的多项式就称为拉格朗日（插值）多项式。 拉格朗日插值法
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摘要：第一类斯特林数 定义 将 $n$ 个互不相同的元素，划分为 $k$ 个互不区分的非空轮换的方案数，记为 $s(n,k)$，或 $n \brack m $。 一个轮换就是一个首尾相接的环形排列。如轮换 $[A,B,C,D]$，我们认为 $[A,B,C,D]=[B,C,D,A]=[C,D,A,B]=[D
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摘要：定义 考虑一个有 $n$ 个元素的排列，若一个排列中所有的元素都不在自己原来的位置上，那么这样的排列就称为原排列的一个错排。 $n$ 个元素的错排数记为 $D_n$。 对于情况较少的排列，可以使用枚举法。 当 $n=1$ 时，全排列只有一种，不是错排，$D_1 = 0$。 当 $n=2$ 时，全排列
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摘要：前置芝士 二项式定理 $(a+b)^n=\sum_{i=0}^{n}\binom{n}{i}a^ib^{n-i}$、 组合数的性质： 将选出的集合对全集取补集，数值不变： $\binom{n}{m}=\binom{n}{n-m}$ 。 $(1)$ 根据定义可以推出： $\binom{n}{k}=\f
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摘要：定义 设全集 $U$ 中有 $n$ 种不同的属性，而第 $i$ 种属性称为 $P_i$，拥有属性 $P_i$ 的元素构成集合 $S_i$，那么 $ \left | \bigcup_{i=1}^{n} S_i\right | =\sum \left | S_i \right |-\sum_{i<j}
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摘要：参考了这篇博客 引入 $n$ 个元素进栈序列为：$1,2,3,4...n$，求总共有多少种出栈序列。 将进栈表示为 $+1$，出栈表示为 $-1$，则 $1,3,2$ 的出栈序列可以表示为：$+1,-1,+1,+1,-1,-1$。 根据栈本身的特点，每个出栈序列的所有前缀和必然 $\geq 0$，并
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摘要：以下部分内容摘自OI Wiki 排列数 从 $n$ 个数中选出 $m$ 个数按照一定的顺序排列，用 $A_{n}^{m}$ 表示。排列的计算公式如下： $A_{n}^{m}=n(n-1)(n-2)...(n-m+1)=\dfrac{n!}{(n-m)!}$。 组合数 从 $n$ 个不同的元素中，选出
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摘要：抽屉原理 在构造题中，若我们遇到了 $n/k$ 这样的操作次数的时候，可以考虑将所有数划分为 $k$ 个集合。这样，最小的那个集合的大小就一定小于等于 $n/k$ 了。 CF1198C 给定一张有 $3n$ 个点，$m$ 条边的无向图。请找到一个大小为 $n$ 的点独立集或边独立集。 $n \leq
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摘要：部分内容参照了OI-wiki 定义 对于这样的一个无向图，左侧的 ${1,2,3}$ 和右侧的 ${3,4,5}$ 分别构成一个点双联通分量。中间的 $3$ 号节点就是一个割点。不难发现，点双与点双之间，通过割点连接。 把原图中的点双新建成一个节点，称之为方点；而原图中的割点以及剩下的孤点，称之为圆
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摘要：后缀自动机的概念比较抽象，首先给出SAM的讲义 一、SAM的性质: 1.SAM是个状态机。一个起点，若干终点。原串的所有子串和从SAM起点开始的所有路径一一对应，不重不漏。所以终点就是包含后缀的点。 2.每个点包含若干子串，每个子串都一一对应一条从起点到该点的路径。且这些子串一定是里面最长子串的连续
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摘要：定义 记一个长度为 $n$ 的字符串 $S$，以 $S$ 中第 $i$ 个下标开始到结尾的子串被称为 $S$ 的第 $i$ 个后缀。显然，一个长度为 $n$ 的字符串有 $n$ 个后缀。 下面介绍一种倍增算法实现 $O(n \log n)$ 对后缀按字典序进行排序。 倍增算法 记 $sa[i]$ 表
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