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上次看到这个系列更新的已经本科毕业了. 由于水平和时间的限制, 本文中一定还有不少的缺点和错误, 恳请各位读者批评指正. 问题1 (2020年高考浙江卷P21)已知椭圆$C_1:\dfrac{x^2}{2}+y^2=1,$ 抛物线$C_2:y^2=2px(p>0),$ 点$A$是椭圆$C_1$与抛物 阅读全文
posted @ 2025-04-30 16:58
HenryYang2001
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题目 求所有的正实数$\lambda,$ 使得满足对于任意$n\geq 2024^{2024},$ $$a_{n+1}=\lambda\cdot \dfrac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}$$的正实数序列$\{a_n\}$总是有界的. 解 $0 方便起见, 我们记$N=2024^{2 阅读全文
posted @ 2025-03-24 12:21
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题目 求最大的实数$\alpha$, 使得对于任意非负实数$x,y,z,$ 下面的不等式恒成立： \begin{align*} (x+y+z)^3+\alpha(x^2z+y^2x+z^2y)\geq\alpha(x^2y+y^2z+z^2x).\end{align*} 解 $\alpha_{\ma 阅读全文
posted @ 2025-03-24 12:19
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题目 正实数$a_1, a_2, \ldots, a_{2024}$被写在黑板上. 一步操作包括选择黑板上的两个数$x$和$y,$擦除它们, 并在黑板上写下数字 $\dfrac{x^2+6xy+y^2}{x+y}$. 经过$2023$步操作后, 黑板上只剩下一个数$c.$ 证明：$c 证明 注意到\ 阅读全文
posted @ 2025-03-24 12:16
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题目 设 $\mathbb{R}^+$为所有正实数构成的集合. 求所有函数$f: \mathbb{R}^+\to\mathbb{R}^+,$ 使得对于所有满足$abc=1$的$a,b,c \in \mathbb{R}^+,$ 有 \[ \frac{f(a)}{1+a+ca}+\frac{f(b)}{ 阅读全文
posted @ 2025-03-24 12:14
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题目 已知$\alpha$是一个非零实数. 求所有函数$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R},$ 使得对任意$x,y\in\mathbb{R},$ 有$$xf(x+y)=(x+\alpha y)f(x)+xf(y).$$ 解 当$\alpha=2$时, $f(x)=cx^2,$ $c$ 阅读全文
posted @ 2025-03-24 12:11
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题目 考虑方程组\begin{align*} \begin{cases} x+y=z+u,\\ 2xy=zu. \end{cases} \end{align*} 求实常数$m$的最大可能值, 使得对于上述方程组满足$x\geq y$的正整数解$(x,y,z,u),$ 总有$\dfrac{x}{y}\ 阅读全文
posted @ 2024-12-11 15:52
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题目 楔形体是三角形面互相全等的四面体. 一个楔形体的面是边长为整数的各边不等的三角形, 那么它的总表面积最小为 $\textbf{(A) }\sqrt{3}\qquad\textbf{(B) }3\sqrt{15}\qquad\textbf{(C) }15\qquad\textbf{(D) }15 阅读全文
posted @ 2024-11-13 21:00
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题目 下图是一个宽$8$英寸, 高$3$英寸的点阵, 由$1$英寸乘以$1$英寸的正方形组成. Carl将$1$英寸的牙签插在方格的一些边上, 以形成一个不相交的闭合环. 单元格中的数字表示该正方形中要用牙签覆盖的边的数量, 如果没有写数字, 则允许用任意数量的牙签. Carl放置牙签的方法种数为 阅读全文
posted @ 2024-11-13 20:50
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题目 已知一个四面体$ABCD$满足$AB=CD,$ $AC=BD,$ $AD=BC.$ 求证：该四面体的各面都是锐角三角形. 证明 假设某个面不为锐角三角形, 不妨设$\angle ABC$为钝角或直角, 取$AC$的中点为$E,$ 则由中线长公式\begin{align*} BE=\dfrac{ 阅读全文
posted @ 2024-11-13 15:57
HenryYang2001
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