2024年波罗的海数学竞赛P3：黑板操作问题
题目 正实数$a_1, a_2, \ldots, a_{2024}$被写在黑板上.
一步操作包括选择黑板上的两个数$x$和$y,$擦除它们, 并在黑板上写下数字 $\dfrac{x^2+6xy+y^2}{x+y}$. 经过$2023$步操作后,
黑板上只剩下一个数$c.$ 证明：$c<2024 (a_1+a_2+\ldots+a_{2024}).$
证明 注意到\begin{align*} \dfrac{x^2+6xy+y^2}{x+y}=x+y+\dfrac{4xy}{x+y}\leq x+y+2\sqrt{xy}=\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right), \end{align*} 因此在擦除黑板上数字的过程中, 所有数的开平方和单调不增, 且仅在擦除两数相等时保持不变, 因此\begin{align*} c\leq\left(\sum_{i=1}^{2024}\sqrt{a_i}\right)^2\leq \left(\sum_{i=1}^{2024}1\right)\cdot \left(\sum_{i=1}^{2024}a_i\right)=2024\sum_{i=1}^{2024}a_i. \end{align*} 假设等号成立, 则$a_1=a_2=a_3=\cdots=a_{2024},$ 且每一步都将黑板上相同的两数$x$擦除变为$2x.$ 由于$2024$不是$2$的整数次幂, 这样的操作不能成立. 因此等号不能取到, 原不等式得证.
证明 注意到\begin{align*} \dfrac{x^2+6xy+y^2}{x+y}=x+y+\dfrac{4xy}{x+y}\leq x+y+2\sqrt{xy}=\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right), \end{align*} 因此在擦除黑板上数字的过程中, 所有数的开平方和单调不增, 且仅在擦除两数相等时保持不变, 因此\begin{align*} c\leq\left(\sum_{i=1}^{2024}\sqrt{a_i}\right)^2\leq \left(\sum_{i=1}^{2024}1\right)\cdot \left(\sum_{i=1}^{2024}a_i\right)=2024\sum_{i=1}^{2024}a_i. \end{align*} 假设等号成立, 则$a_1=a_2=a_3=\cdots=a_{2024},$ 且每一步都将黑板上相同的两数$x$擦除变为$2x.$ 由于$2024$不是$2$的整数次幂, 这样的操作不能成立. 因此等号不能取到, 原不等式得证.
