2024年波罗的海数学竞赛P4：不等式最优系数问题
题目 求最大的实数$\alpha$, 使得对于任意非负实数$x,y,z,$ 下面的不等式恒成立：
\begin{align*}
(x+y+z)^3+\alpha(x^2z+y^2x+z^2y)\geq\alpha(x^2y+y^2z+z^2x).\end{align*}
解 $\alpha_{\max}=6\sqrt3.$
一方面, 取$x=0,$ $y=\sqrt3+2,$ $z=1,$ 由于不等式恒成立, 故有\begin{align*} 54+30\sqrt3+(\sqrt3+2)\alpha\geq(4\sqrt3+7)\alpha, \end{align*} 因此$\alpha\leq 6\sqrt3.$
另一方面, 我们证明$\alpha=6\sqrt3$时不等式确实恒成立. 由于不等式关于$x,y,z$的轮换对称性, 不妨设$x=\min\{x,y,z\}.$ 注意到\begin{align*} &(x+y+z)^3+6\sqrt3(x^2z+y^2x+z^2y)-6\sqrt3(x^2y+y^2z+z^2x)\\=&(x+y+z)^3-6\sqrt3(z-x)(y-x)(y-z). \end{align*} 此时, 当$z\geq y$或$x=z$时, 不等式显然成立, 故只需考虑$y>z>x$的情形. 设$z-x=u>0,$ $y-z=v>0,$ 则 \begin{align*} &(x+y+z)^3-6\sqrt3(z-x)(y-x)(y-z)\geq(y+z-2x)^3-6\sqrt3(z-x)(y-x)(y-z)\\= &(2u+v)^3-6\sqrt3uv(u+v)=\left(v+(8-4\sqrt3)u\right)\left(v-(1+\sqrt3)u\right)^2\geq0 \end{align*} 因此不等式确实恒成立.
综上所述, $\alpha_{\max}=6\sqrt3.$
解 $\alpha_{\max}=6\sqrt3.$
一方面, 取$x=0,$ $y=\sqrt3+2,$ $z=1,$ 由于不等式恒成立, 故有\begin{align*} 54+30\sqrt3+(\sqrt3+2)\alpha\geq(4\sqrt3+7)\alpha, \end{align*} 因此$\alpha\leq 6\sqrt3.$
另一方面, 我们证明$\alpha=6\sqrt3$时不等式确实恒成立. 由于不等式关于$x,y,z$的轮换对称性, 不妨设$x=\min\{x,y,z\}.$ 注意到\begin{align*} &(x+y+z)^3+6\sqrt3(x^2z+y^2x+z^2y)-6\sqrt3(x^2y+y^2z+z^2x)\\=&(x+y+z)^3-6\sqrt3(z-x)(y-x)(y-z). \end{align*} 此时, 当$z\geq y$或$x=z$时, 不等式显然成立, 故只需考虑$y>z>x$的情形. 设$z-x=u>0,$ $y-z=v>0,$ 则 \begin{align*} &(x+y+z)^3-6\sqrt3(z-x)(y-x)(y-z)\geq(y+z-2x)^3-6\sqrt3(z-x)(y-x)(y-z)\\= &(2u+v)^3-6\sqrt3uv(u+v)=\left(v+(8-4\sqrt3)u\right)\left(v-(1+\sqrt3)u\right)^2\geq0 \end{align*} 因此不等式确实恒成立.
综上所述, $\alpha_{\max}=6\sqrt3.$
