2024年波罗的海数学竞赛P2：函数方程
题目 设 $\mathbb{R}^+$为所有正实数构成的集合. 求所有函数$f:
\mathbb{R}^+\to\mathbb{R}^+,$ 使得对于所有满足$abc=1$的$a,b,c \in \mathbb{R}^+,$ 有
\[
\frac{f(a)}{1+a+ca}+\frac{f(b)}{1+b+ab}+\frac{f(c)}{1+c+bc} = 1.
\]
解 $f(x)=k(x-1)+1,$ 其中$k\in [0,1]$为常数.
注意到$abc=1$时, \begin{align*} 1+b+ab=b(1+a+ca)=ab(1+c+bc), \end{align*} 因此函数方程等价于\begin{align}\label{B202402.1} bf(a)+f(b)+abf(c)=1+b+ab. \end{align} 交换$a,b$可知\begin{align*} af(b)+f(a)+abf(c)=1+a+ab. \end{align*} 上述两式相减可知任取$a,b\in\mathbb{R}^+,$ 有\begin{align*} bf(a)+f(b)-af(b)-f(a)=b-a \end{align*} 整理可知\begin{align*} (b-1)(f(a)-1)=(a-1)(f(b)-1). \end{align*} 取$a=2,$ $b=x,$ 则可知对于任意$x\in\mathbb{R}^+,$ \begin{align*} f(x)=1+(f(2)-1)(x-1). \end{align*} 因此函数必形如$f(x)=k(x-1)+1,$ 其中$k$为常实数. 容易验证其满足方程\eqref{B202402.1}. 因此只需要保证$f$将$\mathbb{R}^+$映到$\mathbb{R}^+$上. 易见此时$f$的值域为\begin{align*} f((0,+\infty))=\begin{cases} \{1\}, &k=0,\\ (-k+1,+\infty), &k>0,\\ (+\infty,-k+1), &k<0, \end{cases} \end{align*}为使$f((0,+\infty))\subseteq (0,+\infty),$ 则有$k\in[0,1].$
综上所述, $f(x)=k(x-1)+1,$ 其中$k\in [0,1]$为常数.
解 $f(x)=k(x-1)+1,$ 其中$k\in [0,1]$为常数.
注意到$abc=1$时, \begin{align*} 1+b+ab=b(1+a+ca)=ab(1+c+bc), \end{align*} 因此函数方程等价于\begin{align}\label{B202402.1} bf(a)+f(b)+abf(c)=1+b+ab. \end{align} 交换$a,b$可知\begin{align*} af(b)+f(a)+abf(c)=1+a+ab. \end{align*} 上述两式相减可知任取$a,b\in\mathbb{R}^+,$ 有\begin{align*} bf(a)+f(b)-af(b)-f(a)=b-a \end{align*} 整理可知\begin{align*} (b-1)(f(a)-1)=(a-1)(f(b)-1). \end{align*} 取$a=2,$ $b=x,$ 则可知对于任意$x\in\mathbb{R}^+,$ \begin{align*} f(x)=1+(f(2)-1)(x-1). \end{align*} 因此函数必形如$f(x)=k(x-1)+1,$ 其中$k$为常实数. 容易验证其满足方程\eqref{B202402.1}. 因此只需要保证$f$将$\mathbb{R}^+$映到$\mathbb{R}^+$上. 易见此时$f$的值域为\begin{align*} f((0,+\infty))=\begin{cases} \{1\}, &k=0,\\ (-k+1,+\infty), &k>0,\\ (+\infty,-k+1), &k<0, \end{cases} \end{align*}为使$f((0,+\infty))\subseteq (0,+\infty),$ 则有$k\in[0,1].$
综上所述, $f(x)=k(x-1)+1,$ 其中$k\in [0,1]$为常数.
