随笔分类 - A-组合数学-容斥
摘要：### 题意 > 对于一个$2\times n$的矩阵，若每行每列数均不同且均$\in[0,2^k)$，同时$2n$个数异或和为$0$则称该矩阵合法。给定$n,k$，求总方案数。 $n\le 40,k\le 10000$ ### 做法 考虑若只有一行，即求$n$个不相同的数异或和为$0$的方案数：
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摘要：前言 \(2020.2.12\)，太久没碰过容斥原理的我，由第一类斯特林发现容斥原理还有较多细节未完善，故写了这篇文章，从最基础的讲起，以方便理解 定义 例子 求从$1$到$1000$之间不能被$5,6,8$整除的整数个数 $|\overline{A_1}\cap \overline{A_2}\ca
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摘要：题意 给定$n$及长度为$n$的序列${a_i}$，$a_i$表示有$a_i$个$i$类糖果。 将$\sum a_i$个糖果，排成一个序列（同种糖果没有分别）。 对于某种序列，其权值为将序列看成环，所有极长段长度的乘积。 如${1,1,2,3,4,4,1}$，权值为$3\times 1\times
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摘要：题意 cf 做法 令$f_S$为原状态为$S$的答案 令$g_S=\sum\limits_{S\subseteq T} f_T$ 我们求${g_S}$，最后$O(n22n)\(子集反演回\){f_S}$ 考虑$g_S$的意义，即为钦定一些大小固定的链，然后随意拼接起来 比如$11010100$，是钦
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摘要：问题1 题意： 给定$n$，求有多少个$n$排列，满足相邻两项绝对值大于$1$ 将位置看作点，对于点$i,i+1$，将$|a_i-a_{i+1}|$看作边 考虑容斥，钦定边集不合法 考虑单个连通块的多项式$f(x)=x-2x2+2x3-2x^4+\cdots=x\frac{1-x}{1+x}$ 对于
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摘要：题意 $n$个球，$m$个盒子，每个盒子要么放一个球，要么放相邻的两个球，不要求将球全部放完，求$i\in[1,m]$，总共有$i$个盒子的方案数 做法 枚举相邻两个球的盒子数 \(ans_i=\sum\limits{i\choose j}{n-j\choose i}\) 考虑其组合意义：$n$个球
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摘要：不放翻译了，去官网看吧 Floyd-Warshall $O(nmlogm)$算出点对最短路径 按顺序更新$(i=1\sim n)$ 记下$i$到哪些点是没问题的$S$，记下哪些点到$j$的路径是没问题的$T$，然后考虑$i,j$的路径是否能被更新，存在$k\in S\cap T$，且$i\longr
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摘要：题意 给定$B,X$（\(B\le 10^{12},X\le 60\)）,求有多少个$N$满足$NX$存在因子$\in(N,B]$ 做法 令$P$为因子$\in(N,B]$ 将$NX$表示为$PQ$。\(P\in(N,B]\Longrightarrow \frac{NX}{Q}\in(N,B]\Lo
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摘要：题意 有长度为$n$的序列${a}$。给定$m$长度的序列${b}$，对于每个$b_i$，能得到$a_1+a_2+\cdots+a_,a_{b_i+1}+a_{b_i+2}+\cdots+a_{2b_i},\cdots,a_{kb_i+1}+a_{kb_i+2}+\cdots +a_$。求能得到多少
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摘要：题意 其$x\in[1,A],y\in [1,B]\(，\){x^y}$的大小 \(A,B\in 10^9\) 做法 将$x$表示成$x=\prod\limits_c p_i$，令$d=gcd(k_1,k_2,...,k_c)$ 为唯一表示，在$d=1$处统计 若$x>\sqrt$，则$y$可以任取
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摘要：题意 洛谷 做法 考虑计算不合法的 将两种边染色$0/1$，对于有序点对$(p_1,p_2,p_3)\(，路径为\)(p_1,p_2)(p_1,p_3)(p_2,p_3)$ 不合法当且仅当三条边颜色不全相同$Llongrightarrow$有两个点的两条边颜色不同 然后单独计算每个点 若两条边均为出
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摘要：题意 \(r,n\)，$r\times n$的矩阵合法当且仅当满足 \((1)\)：给定一个正整数$K$，我们说第$j$列稳定$(j\in[1,n))\(，当且仅当\)\forall i\in[1,r],A_{i,j}<A_{i,j+1}$ \((2)\)：每一行是$n$元排列 \((3)\)：若$
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摘要：题意 $n$个二元组$(a_i,b_i)$，\(a_i\in[0,10^9],b_i\in [1,3]\)，有效区间$[l,r]$为区间内$cnt1,cnt2,cnt3$互不相等（$cnt1$为$a_i=1$的数量），有效区间的权值为$\oplus b_i$。求以$r=1\sim n$为右端点的最大
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摘要：题意 n个点m条边，要给每个点染色一种颜色，$col_i$，则图的美丽值为$\bigoplus\limits_{i=1}^n col_i$，其中给定了$limit_i$，需要满足$col_i\in[0,limits_i]$。若满足美丽值为$C$，对于任意边$(u,v)$，需要满足$col_u=col
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摘要：题意 给定一个仙人掌，随机一个排列。按顺序删点，求每个点删去时该点所在连通块大小之和。求期望之和 做法 环上一条路径可行的概率是$\frac{1}{len}$ 然后经过一个环时要容斥一下：路径1可行+路径2可行 整个环可行 枚举每个点，做一遍dp，令$f_{i,j}$为到达$i$点是长度为$j$的方
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摘要：题意 已知$e_n+\sqrt2f_n=(1+\sqrt2)^n,e_n \sqrt2f_n=(1 \sqrt2)^n,g_n=lcm_{i=1}^nf_i$，求$\sum_{i=1}^{n}g_i\times i$ 做法 $e_n+\sqrt2f_n=(1+\sqrt2)(e_{n 1}+\sqr
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摘要：题意 $n\times m$的方格，放$2n$个石子，每行每列不超过$2$的方案数 做法 转化为二分图，行列分别为点集$S,T$ 每行有两个石子：$S$中每个点度数为$2$ 枚举$T$中度数为$2$的点个数$k$，则剩下$2(n k)$个一度点， 将每个二度点拆开，两个二度点$(a,b)(c,d)$
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摘要：题意 "51nod" 做法 无论怎样，每行的竖边是相互平行的，每列的横边也是相互平行的 添加固定边的目的是维护一行一列，则此题等价于求二分图联通数量
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摘要：题意 "洛谷" 做法一 对不合法的块数容斥一下，然后把EGF乘起来 填不合法块数的方案数为${n 3i\choose i}$ $O(n^2logn)$ 优化（这种做法网上好像还没有） 倒序枚举块数，四个EGF里面新添加一个单项式，一个一个加进去，则贡献为单项式乘上多项式，这个可以$O(n)$算出来，
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摘要：题意 "洛谷" 做法 令$p=\sum p_i$ 令$f_i$为进行$i$次恰好到达目标状态的方案数，写成EGF的形式： $$\hat {F(x)}=\prod(\frac{e^{(p_i/p)\cdot x+( 1)^{s_i}e^{ (p_i/p)\cdot x}}}{2})$$ 令$g_i$为
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