代数恒等变形

\begin{example}
(三元均值不等式)设$a,b,c\in \mathbb{R}^+$,则
$$
\frac{3}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}\le \sqrt[3]{abc}\le \frac{a+b+c}{3}\le \sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2}{3}},
$$
\end{example}
\begin{solution}
先证明:
$$
a^3+b^3+c^3\ge 3abc,\quad a,b,c\in \mathbb{R}^+.
$$
事实上,
\begin{align*}
a^3+b^3+c^3-3abc &=\left( a+b \right) ^3+c^3-3a^2b-3ab^2-3abc
\\
&=\left( a+b+c \right) \left[ \left( a+b \right) ^2-\left( a+b \right) c+c^2 \right] -3ab\left( a+b+c \right)
\\
&=\left( a+b+c \right) \left[ \left( a+b \right) ^2-\left( a+b \right) c+c^2-3ab \right]
\\
&=\left( a+b+c \right) \left( a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca \right)
\\
&=\left( a+b+c \right) \left[ \frac{1}{2}\left( a-b \right) ^2+\frac{1}{2}\left( b-c \right) ^2+\frac{1}{2}\left( c-a \right) ^2 \right] \ge 0.
\end{align*}
令$a^3\to a,b^3\to b,c^3\to c$即可.
\end{solution}

\begin{example}
(2012年初联)已知互不相等的实数$a,b,c$满足$a+\frac{1}{b}=b+\frac{1}{c}=c+\frac{1}{a}=t$,求$t$.
\end{example}
\begin{solution}
由$a+\frac{1} {b}=t$得$b=\frac{1}{t-a}$,代入$b+\frac{1}{c}=t$得$\frac{1}{t-a}+\frac{1}{c}=t$,整理得$ct^2-(ac+1)t+(a-c)=0$\ding{172}.

又由$c+\frac{1}{a}=t$可得$ac+1=at$,代入\ding{172}式得$ct^2-at^2+(a-c)=0$,即$(c-a)(t^2-1)=0$,又$c\neq a$,所以$t^2-1=0$,所以$t=\pm 1$.

验证可知: $b=\frac{1}{1-a},c=\frac{a-1}{a}$时$t=1$;
$b=-\frac{1}{1+a},c=-\frac{a+1}{a}$时$t=-1$.因此, $t=\pm 1$.
\end{solution}