国外数学奥林匹克试题

1.波兰数学奥林匹克

2.奥地利数学奥林匹克

3.德国数学奥林匹克

4.法国自招

5.美国数学月刊问题

6.中国最难的理科高考题有哪些？

7.日本高考试题 东京大学高考

8.京都大学数学系修士考试

9.东京大学数学系修士考试或者这里

10.数分笔记——非常初等的Fejér-Jackson不等式

11.含参带绝对值的函数题型的解法

12.IMC

\begin{example}
(三元均值不等式)设$a,b,c\in \mathbb{R}^+$,则
$$
\frac{3}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}\le \sqrt[3]{abc}\le \frac{a+b+c}{3}\le \sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2}{3}},
$$
\end{example}
\begin{solution}
先证明:
$$
a^3+b^3+c^3\ge 3abc,\quad a,b,c\in \mathbb{R}^+.
$$
事实上,
\begin{align*}
a^3+b^3+c^3-3abc &=\left( a+b \right) ^3+c^3-3a^2b-3ab^2-3abc
\\
&=\left( a+b+c \right) \left[ \left( a+b \right) ^2-\left( a+b \right) c+c^2 \right] -3ab\left( a+b+c \right)
\\
&=\left( a+b+c \right) \left[ \left( a+b \right) ^2-\left( a+b \right) c+c^2-3ab \right]
\\
&=\left( a+b+c \right) \left( a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca \right)
\\
&=\left( a+b+c \right) \left[ \frac{1}{2}\left( a-b \right) ^2+\frac{1}{2}\left( b-c \right) ^2+\frac{1}{2}\left( c-a \right) ^2 \right] \ge 0.
\end{align*}
令$a^3\to a,b^3\to b,c^3\to c$即可.
\end{solution}