P13617 [ICPC 2024 APC] Bit Counting Sequence

对于一个非负整数 \(x\)，令 \(p(x)\) 为 \(x\) 的二进制表示中 1 的个数。例如，\(p(26)=3\)，因为 \(26=(11010)_2\)。

给定长为 \(n\) 的整数序列 \((a_1, a_2, ..., a_n)\)，判断是否存在一个非负整数 \(x\)，使得序列 \((p(x), p(x+1), ..., p(x+n-1))\) 与 \((a_1, a_2, ..., a_n)\) 相等。此外，如果存在，你需要计算满足条件的最小的 \(x\)。

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假设整个序列里面的最小值 \(\ge 2\)，那么我们会发现解 \(x_0\) 的最高位始终没有变过，否则变化的时刻 \(a_t\) 应为 \(1\)。

所以我们可以去掉 \(x_0\) 的最高位然后考虑剩下的子问题。

重复这个过程相当于整体减 \(1\) 直到整个序列的最小值为 \(1\)。

又因为 \(1\) 所在位置必然是 \(2\) 的整数次幂，只有 \(\mathcal O(\log)\) 种取值，暴力 check 即可！

找到子问题的解之后再贪心构造回去就可以啦。

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感谢 @wing_heart ，她的思路给了我很大启发！

#include <algorithm>
#include <iostream>

int n, v[500007];
#define p(x) (1ll<<(x))

inline void solve() {
	std::cin >> n;
	
	auto check = [](auto&& beg) {
		for(int i = 0; i < n; ++i)
			if(v[i] != __builtin_popcountll(i + beg))
				return 0;
		return 1;
	};
	
	int min = 100, post = -1;
	for(int i = 0; i < n; ++i) {	
		std::cin >> v[i];
		if(v[i] <= min) min = v[i], post = i;
	}
		
	if(min == 0) {
		std::cout << (check(0) ? "0\n" : "-1\n");
		return ;
	}
	
	--min; 
	for(int i = 0; i < n; ++i) v[i] -= min;
	
	for(int i = 0; i <= 60; ++i)
		if(p(i) >= post && check(p(i) - post))
			return std::cout << (p(i) - post + p(i + min + 1) - p(i + 1)) << "\n", void();
	
	std::cout << "-1\n";
}

int main() {
	std::ios::sync_with_stdio(0), std::cin.tie(0), std::cout.tie(0);
	int t; std::cin >> t; for(; t--; ) solve();
}