摘要：本文完整推导了从正态总体 $N(\mu, \sigma^2)$ 中抽取的样本中，单个标准化残差 $W = (X_1 - \bar{X}) / \sqrt{\sum(X_i - \bar{X})^2}$ 的概率密度函数。本文将通过两种截然不同的方法——其一为基于赫尔默特变换与旋转不变性的常规方法，其二为基于贝叶斯定理的精妙方法——殊途同归地证明该统计量的概率密度函数，并详细展开所有推导步骤。 阅读全文

摘要：GMM 模型 EM 算法推导 设 \(\boldsymbol{x}_i|\boldsymbol{c}_i\sim\mathcal{N}(\boldsymbol{\mu}\boldsymbol{c}_i,\boldsymbol{\Sigma}_{\boldsymbol{c}_i}),\boldsymb 阅读全文

摘要：拓扑学基础 拓扑空间 \((X, \mathcal{T})\)：\(\varnothing, X\in \mathcal{T}\subseteq\mathcal{P}(X)\) 且对任意并、有限交封闭 \(x\) 的邻域系 \(\mathcal{U}(x)\)：以包含 \(x\) 的某个开集为子集的 阅读全文

摘要：基础 向量运算：（模长 \(\vert \boldsymbol{x}\vert=\Vert \boldsymbol{x}\Vert_2\)） 内积（inner product，数量积，点乘）：\(\boldsymbol{x}\cdot \boldsymbol{y}=\sum_{i=1}^n x_i^ 阅读全文

摘要：散度定理（Gauss定理）：穿过整个体积表面\(\partial V\)（闭曲面）的通量等于其体积微元散度之和，即 \[\oint_{\partial V} \vec{F} \cdot \vec{n} d S=\oint_V \operatorname{div} \vec{F} d V \]三维Ga 阅读全文

摘要：定理 1（Hahn-Banach 延拓定理[1]）设 \(E\) 为实数域或复数域上的赋范线性空间，\(G\subset E\) 是其子空间，则对于任一给定的 \(G\) 上的有界线性泛函 \(g\)，（总可以保范延拓到全空间 \(E\) 上）必存在 \(E\) 上的有界线性泛函 \(f\) 使得 阅读全文

摘要：拓扑空间 基本概念 集合是数学中最基本的概念之一，我们最常见的集合便是 \(\mathbb{R}\)。\(\mathbb{R}\) 中的元素有大小关系，即 \(\mathbb{R}\) 上有序结构；\(\mathbb{R}\) 中元素之间可以进行各种运算，即 \(\mathbb{R}\) 有代数结构 阅读全文