Hahn-Banach 延拓定理与凸集分离定理

定理 1（Hahn-Banach 延拓定理[1]）设 \(E\) 为实数域或复数域上的赋范线性空间，\(G\subset E\) 是其子空间，则对于任一给定的 \(G\) 上的有界线性泛函 \(g\)，（总可以保范延拓到全空间 \(E\) 上）必存在 \(E\) 上的有界线性泛函 \(f\) 使得
(i). \(f(x)=g(x),\forall x\in G;\)
(ii). \(\lVert f\rVert_{E^*}=\lVert g \rVert_{G^*}.\)

  在介绍Hahn-Banach 延拓定理的几何形式，即凸集分离定理之前，我们先来定义集合的的可分离性[2] ：

  设 \(E\) 为赋范线性空间，其超平面 \(H=\{x\in E|f(x)=\alpha, f\in E^*\}\) 将 \(E\) 分为左右半空间两部分。

定义2. 设 \(C\) 和 \(D\) 为 \(E\) 中非空集合，如果存在超平面 \(H\) 使得 \(C\) 和 \(D\) 分别包含在与超平面 \(H\) 相关的左右闭半空间，则称 \(C\) 和 \(D\) 可分离。特别地，如果超平面 \(H\) 不同时包含 \(C\) 和 \(D\) ，即 \(C\cup D\not\subset H\)，那么称 \(C\) 和 \(D\) 可正常分离。

定义3. 设 \(C\) 和 \(D\) 为 \(E\) 中非空集合，如果存在超平面 \(H\) 使得 \(C\) 和 \(D\) 分别包含在与超平面 \(H\) 相关的左右开半空间，则称 \(C\) 和 \(D\) 可严格分离。

定义4. 设 \(C\) 和 \(D\) 为 \(E\) 中非空集合，\(B\) 为单位范数球 \(\{x\in E\mid\lVert x\rVert\leqslant 1\}\)，如果存在 \(\varepsilon>0\) 和超平面 \(H\) 使得 \(C+\varepsilon B\) 和 \(D+\varepsilon B\) 分别包含在与超平面 \(H\) 相关的左右开半空间，则称 \(C\) 和 \(D\) 可强分离。

  事实上，集合 \(C\) 和 \(D\) 的可分离性有如下等价刻画：

• 可分离(separated)

\[\exists f\in E^*, \quad s.t. \quad\inf_{x\in C} f(x)\geqslant\sup_{y\in D} f(y) \]

• 可正常分离(properly separated)

\[\exists f\in E^*, \quad s.t. \quad\inf_{x\in C} f(x)\geqslant\sup_{y\in D} f(y)\ 且\ \sup_{x\in C} f(x)>\inf_{y\in D} f(y) \]

• 可严格分离(strictly separated)

\[\exists f\in E^*, \alpha\in \mathbb{R}\quad s.t. \quad\forall x\in C, y\in D: f(x)>\alpha>f(y) \]

• 可强分离(strongly separated)

\[\exists f\in E^*, \quad s.t. \quad\inf_{x\in C} f(x)>\sup_{y\in D} f(y)\]

  由上述等价刻画显然有：

\[可强分离\Rightarrow可严格分离\Rightarrow可正常分离\Rightarrow可分离 \]

定理5.（Hahn-Banach 延拓定理 第一几何形式）设 \(E\) 为实赋范线性空间，\(C, D\subset E\) 是两个非空凸子集且 \(C \bigcap D=\emptyset\)，若 \(C, D\) 中有一个是开集，则 \(C\) 和 \(D\) 可分离。

定理6.（Hahn-Banach 延拓定理 第二几何形式）设 \(E\) 为实赋范线性空间，\(C\subset E, D\subset E\) 是两个非空凸子集且 \(C \bigcap D=\emptyset\)，若 \(C, D\) 一个为闭集，另一个为紧集，则 \(C\) 和 \(D\) 可强分离。

注意： 该结论可推广到局部凸拓扑向量空间[5] 。

  接下来，我们取 \(E\) 为 \(n\) 维Euclidean空间 \(\mathbb{R}^n\)，有如下引理：

引理7. 设非空凸集 \(C\subset \mathbb{R}^n\) 且矩阵 \(A\in\mathbb{R}^{m\times n}\)，有 \(A\cdot\mathrm{ri} C =\mathrm{ri} (A\cdot C), A\cdot\mathrm{cl} C \subset\mathrm{cl} (A\cdot C)\)。如果进一步假设 \(C\) 有界，那么有 \(A\cdot\mathrm{cl} C =\mathrm{cl} (A\cdot C)\)。

  特别地，对于非空凸集 \(C, D\subset \mathbb{R}^n\)，有 \(\mathrm{ri}(C-D)=\mathrm{ri}(C)-\mathrm{ri}(D)\)。此时，各种分离性有如下等价刻画[4]：

• \(C\) 和 \(D\) 可分离 \(\ \Longleftrightarrow \ 0\notin \mathrm{int}(C-D)\ \Longleftrightarrow \ \mathrm{int} C \bigcap \mathrm{int} D=\emptyset \ \Longleftrightarrow \ (C-D)^{-}\neq \{0\}\)；
• \(C\) 和 \(D\) 可正常分离 \(\ \Longleftrightarrow \ 0\notin \mathrm{ri}(C-D)\ \Longleftrightarrow \ \mathrm{ri} C \bigcap \mathrm{ri} D=\emptyset\ \Longleftrightarrow \ (C-D)^{-}\) 不是线性子空间；
• \(\mathrm{ri}C\) 和 \(\mathrm{ri}D\) 可严格分离 \(\ \Longleftrightarrow \ C\) 和 \(D\) 可正常分离；
• \(C\) 和 \(D\) 可强分离 \(\ \Longleftrightarrow \ 0\notin \mathrm{cl}(C-D)\ \Longleftrightarrow \ d(C,D)>0\)；

  另外，如果 \(\mathrm{ri} C \bigcap \mathrm{ri}D=\emptyset\)，那么有 \(\mathrm{ri}D\subset (\mathrm{ri}C))^{c}\)，进而成立 \(D\subset \mathrm{cl}D=\mathrm{cl}(\mathrm{ri}D)\subset (\mathrm{ri}C)^{c}\)，因而有 \(\mathrm{ri} C \bigcap D=\emptyset\)。即有结论：\(C\) 和 \(D\) 可正常分离 \(\ \Longleftrightarrow \ \mathrm{ri} C \bigcap \mathrm{ri}D=\emptyset\ \Longleftrightarrow\ \mathrm{ri} C \bigcap D=\emptyset\)。

引理8. 设非空闭凸集 \(C, D\subset \mathbb{R}^n\)，如果 \(\mathrm{rec} C\cap\mathrm{rec} D \ \subset\ \mathrm{lin} C\cap\mathrm{lin} D\)，那么有 \(C-D\) 是闭凸集[3]。

引理9. 多面体 \(\{x\in \mathbb{R}^n\mid Ax\leqslant b\}\) 在线性变换下的像仍为多面体（闭凸集）。

引理10. 设非空闭凸集 \(C, D\subset \mathbb{R}^n\)，\(D\) 为多面体，如果 \(\mathrm{rec} C\cap\mathrm{rec} D \ \subset\ \mathrm{lin} C\)，那么有 \(C-D\) 是闭凸集。

  设非空闭凸集 \(C, D\subset \mathbb{R}^n\) 且 \(C\cap D=\emptyset\)，上述引理给出了 \(C\) 和 \(D\) 可强分离的如下充分条件：

• \(\mathrm{rec} C\cap\mathrm{rec} D \ \subset\ \mathrm{lin} C\cap\mathrm{lin} D\)；
• \(C, D\) 为多面体；
• \(D\) 为多面体，\(\mathrm{rec} C\cap\mathrm{rec} D \ \subset\ \mathrm{lin} C\)。

  使用凸集分离定理，我们有如下支撑超平面定理及逆定理：

• 对于任意非空凸集 \(C\subset \mathbb{R}^n\) 和任意 \(x\in \mathrm{bd}C\)，在 \(x\) 处存在 \(C\) 的支撑超平面。
• 如果闭集 \(C\subset \mathbb{R}^n\) 满足 \(\mathrm{int} C\neq \emptyset\) ，并且其边界上每个点均存在支撑超平面，那么 \(C\) 是凸集。

参考文献

[1] 张世清. 泛函分析及其应用. 科学出版社, 2018.
[2] Rockafellar, R. Tyrrell. Convex Analysis. Princeton Mathematical Series 28. Princeton, N.J: Princeton University Press, 1970.
[3] Bertsekas, Dimitri P. Convex Optimization Theory. Athena Scientific, 2009.
[4] Soltan V. Support and separation properties of convex sets infinite dimension[J]. 2021.
[5] Cook J. Separation of Convex Sets in Linear Topological Spaces[J]. 1988.