随笔分类 - 数论/数学
摘要：题目 传送门 题解 这里有个弱化版本. 在二维上，如果 \((x,y)\) 在 \((0,0)\) 可视，那么有 \(\gcd(x,y)=1\)，即这俩数互质，虽然这道题在三维视角上，但是也是一样的. 现在，我们的任务就是求：使得 \(\gcd(a,b,c)=1\) 的三元组 \(\lang a,b
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摘要：题目 题目背景 在糖果厂里，有一台生产糖果的机器。机器有一排输出口，编号从 $1$ 到 \(n\)。一颗糖果生产好后就会从某个输出口掉出来。 糖果机在开始生产之前，它会打印一张列表，告诉工厂老板，每颗糖果何时以及从哪个插槽掉出来。 工厂老板可以在输出槽下方安装移动的机器人，以抓住掉落的糖果。 任何糖
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摘要：题目 题目背景 有 \(n\) 个城市，标号为 $1$ 到 \(n\)，修建道路花费 \(m\) 天，第 \(i\) 天时，若 \((a,b)=m-i+1\)，则标号为 \(a\) 的城市和标号为 \(b\) 的城市会建好一条直接相连的道路，有多次询问，每次询问某两座城市最早什么时候能连通。 输入描
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摘要：题目 Description 小 s 要在 \([0,2^n)\) 中选一个整数 \(x\)，接着把 \(x\) 依次异或 \(m\) 个整数 \(a_1 \sim a_m\)，他想要最大化 \(x\) 的最终取值。 然而问题并没有这么简单，小 r 想要干预小 s 的选择。 在小 s 选出 \(x\
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摘要：题目让你求 \[ \sum_{i=1}^n{n\choose i}i^k \] 这道题地重点其实是在于 \(i^k\) 可以怎么表示，先给出结论： \[ \newcommand{\string}[2]{\genfrac{\{}{\}}{0pt}{}{#1}{#2}} i^k=\sum_{j=0}^k
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摘要：题目 传送门 题解 这道题在考场上还是卡了我一些时间 导致我 T3 没时间写了 首先，这道题很显然是让我们求一个式子： \[ \prod_{i=1}^n {c_i \choose x_i} \pmod p \] 如果 \(p\) 可以保证是一个素数，显然这道题是很好做的，只需要预处理阶乘及逆元即可.
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摘要：题目 传送门 题解 首先，最高的建筑是两边一定都看得到的，我们先考虑把它放在中间. 剩下的 \(n-1\) 个建筑如何放置？由于左边和右边是等价的，我们先只考虑左边的情况. 左边除开最高的建筑，我们还需要看到 \(f-1\) 个建筑，注意到这 \(f-1\) 个建筑可以不相邻，我们可以理解为这 \(
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摘要：题目 传送门 题解 考虑将 ( 理解为向右走，而 ) 理解为向左走，那么这道题就转化为： 指定走前几步，问此时能走到右上角且不经过对角线的方案数是多少. 这是卡特兰数的其中一个意义，我们可以利用分析卡特兰数递推式的相似的思路分析这个问题. 记我们还需填 \(a\) 个 ( 与 \(b\) 个 )，那
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摘要：题目 传送门 题解 每个数对答案的贡献单独考虑. 对于一个数 \(a_p\)，它的贡献只和它后面填的第一个加号的距离有关，当第一个加号的位置出现在离它的距离为 \(i\)，它的贡献就固定了，为 $10^i\times a_p$，而其他的加号可以在除了从 \(p\) 到 \(p+i\) 这一段的任意空
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摘要：题目 传送门 题解 错排，显然的容斥. 记我们要填入的数字有 \(s\) 个，其中可以任意填的数字有 \(q\) 个，现在对这个问题进行分析. 总方案数显然 \(s!\)，那么如何去重？ 考虑用错排的经典思路，减去至少不合法，加上两个不合法，减去三个不合法，加上四个不合法... 容斥式就可以得出 \
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摘要：题目 传送门 题解 给我们了柿子，我们也只能推柿子咯...... 考虑对原式进行如下变换 \[ \begin{aligned} F(n) &= \sum_{i=1}^n (i \times \sum_{j=i}^n C_j^i) \\ &= \sum_{j=1}^n\sum_{i=1}^j i\ti
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摘要：题目 传送门 题解 容斥好题. 由于行列问题相似，我们考虑先解决只有行的时候的答案. 记 \(\text{Ans}_1(i)\) 为有至少 \(i\) 行为黑色时的答案，那么我们考虑其容斥为“先选出 \(j\) 行染黑，其他行任意染色”，那么容斥式子就比较显然，有 \[ \text{Ans}_1(i
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摘要：题目 传送门 题解 这道题可以转化为一个模型，即在网格上求解不相交的路径数，解决这个问题的方法有一个经典的 \(\text{LGV}\) 引理，此题用到了引理的最简单的版本。 首先我们需要明白此题应该用总方案数减去相交路径的方案数，接下来要问的就是如何求解有多少路径相交。 我们假设左右分别有 \(A
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摘要：题目 传送门 题解 设原数组的第 \(i\) 位经过 \(j\) 次变换之后得到的数字为 \(f[i][j]\)，那么显然有 \[ f[i][j]=f[i-1][j]\oplus f[i][j-1] \] 考虑单独一个数对于最终的答案序列哪些位置有贡献： 对于数字 \(i\)，显然他在第一次变换之后
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摘要：题目 传送门 补充一个数据范围： 对于 $30%$ 的数据，保证 \(n\le 10^3\)； 对于 $50%$ 的数据，保证 \(n\le 10^4\)； 对于 $70%$ 的数据，保证 \(n\le 10^5,1\le d,x,a \le 10^6\)； 对于所有数据，保证 \(n\le 10^
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摘要：题目 传送门 题解 思维好题. 必须明白，一个数 \(x(x\le 10^{18})\) 在反复执行除以某个数下取整，即反复 \(x=\lfloor \frac{x}{t} \rfloor(t\ge 2)\) 超过 $60$ 次之后必定为 $0$，因为 \(\log _210^{18}<60\)，所
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摘要：题目 传送门 题解 首先，这道题的洛谷题目翻译有点问题，题目意思是这样的： 满足下列条件的矩阵称为魔法矩阵： \(a[i][j]=a[j][i]\)； \(a[i][i]=0\)； \(a[i][j]\le \min\{\max(a[i][k],a[k][j])\}\) 现给你一个 \(n\time
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摘要：题目 传送门 题解 考虑对于一个区间 \([l,r]\)，其并值为 \(x\) 会有什么限制： 如果 \(x\) 的第 \(i\) 位为 \(1\)，则要求 \([l,r]\) 所有数字的第 \(i\) 位为 \(1\)； 如果 \(x\) 的第 \(i\) 位为 \(0\)，则要求 \([l,r]
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摘要：题目 传送门 题解 一道十分巧妙的二分题 然而精度要求较高 首先考虑无解情况——有某两个点在 \(x\) 轴的上下方，此时输出 -1 否则，考虑二分这个圆的半径 \(r\)，那么这个圆心所在的位置一定是一条直线 \(y=r\)（此处我们将所有的点都转移到 \(x\) 轴上方，故不考虑正负号问题），然
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摘要：〇、前言 ¶ 鸽了好久了，于 \(2021/4/5\) 看到重心 \(\tt Lagrange\) 插值法，惊讶于 \(\mathcal O(n)\) 的快速插值，想要把这篇完善一下。 壹、普通 Lagrange 插值法 ¶ 对于一个 \(k\) 次多项式 \(f(x)\)，假如我们已经知道其中 \
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