2026 朝阳九上期末题解

代数综合

（1）直接用待定系数法消元即可，\(b=-3a\)。

（2）当函数 y=1 时，即 \(ax^2-3ax+1=1\)，解得 \(x_1=0,x_2=3\)，因函数开口向上，所以 \(0<x<3\) 的部分需关于 y=1 对称得到图形 G，纵坐标会变成二倍对称轴减原来，即 \(-ax^2+3ax+1\)。可求 \(M(t,at+1)\)，故分类讨论求出线段 MN 的长度：①当 \(t\le 0\) 或 \(t\ge 3\) 时，\(N(t,at^2-3at+1)\)，相减求绝对值可得 \(a|t^2-4t|\)，因为 a 是正数，所以直接讨论函数 \(y=|t^2-4t|\) 何时单调递减，画图像求与 x 轴交点可知函数在 \(t\le 0,3\le t\le 4\) 的部分单调递减，都可以取。②当 \(0<t<3\) 时，\(N(t,-ax^2+3ax+1)\)，可得 \(a|t^2-2t|\)，函数 \(y=t^2-2t\) 在 \(t\le 0,1\le t\le 2\) 的部分单调递减，只能取 \(1\le t\le 2\)。但是经验证，当 \(t=0,2,4\) 时，M,N 的纵坐标分别为 \(1,2a+1,4a+1\)，说明两点重合，应舍去，而 \(t=1,3\) 合法。综上 \(\boxed{t<0 或 1\le t<2 或 3\le t<4}\)。

几何综合

（1）显然原式=\(\angle EAB+\angle CAD=180°\)。

（2）结论 \(ED=2AF\)。方法一：过点 B 作 BQ//AC 且 BQ=AC，连接 AQ 交 BC 与点 P。显然 \(\triangle ACP≌\triangle QBP\)，只需证 ED=AQ，发现 \(\triangle AED≌\triangle BQA(SAS)\)，\(AE=BQ,AD=BA\) 都可用旋转证明，只需导角 \(\angle ABQ=\angle DAE\) 即可，显然两角都与 \(\angle BAC\) 互补。

方法二：延长 DA 至点 G 使 DA=AG，取 DE,BC 中点 P,Q，连接 GE,AP,AQ。有手拉手全等 \(\triangle GAE≌\triangle CAB\)，要证明结论只需证 \(EP=AF\)。可以用 SAS 证明 \(\triangle AQB≌\triangle EPA\)，要利用 AP 是中位线，\(2AP=GE=CB=QB\)，和 \(\angle B=\angle AEG=\angle EAP\)，完成证明后 \(AQ=\frac{DE}{2}\)，只需证 \(AF=AQ\)，显然证等腰即可，\(\angle F=\angle AEP+\angle B=\angle QAB+\angle B=\angle AQF\)，得证。

新定义

（1）（i）发现 \(d(⊙O,BC,A)\) 就是点 A 到直线 BC 的距离，本问已知 A,B,C，直接算距离即可，答案为 1,2。

（ii）点 C 在一个旋转的函数上，可以画出点 C 可以取的位置，以 (0,3) 为中心旋转。当点 A 到 BC 的距离为 0 时，说明点 A 在直线 BC 上，可以找到一个在范围内的点 C 使得直线 BC 过点 A。考虑距离的最大值，发现最大值一定不超过 AB 的距离 \(\sqrt{5}\)，只需在垂直于 AB 直线上找到一点 C，那么线段 AB 就是最终取的距离，结合点 C 范围图像发现这是可行的，所以 \(\boxed{0\le d(⊙O,BC,A)\le \sqrt{5}}\)。

（2）对于每一个位置的点 B，这样构造可以使距离最大：令点 C 为定点，考虑 A 在哪时 A 到 BC 距离最大，显然这个距离应该过点 O；再令点 A 为定点，看如何设置点 C，显然无论 BC 在哪距离都有一部分 OA 是不变的，问题转化为如何使原点到 BC 的距离最大，显然点 C 设置后应满足 \(OB ⊥ BC\)。①先求最小最大值。点 B 在 \(y=x+2(-2<x<0)\) 上，距离最小也可以说是 OB 最小，那么当 OB 垂直于函数是最优的，可求 \(OB=\sqrt{2}\)，那么点 A 到 BC 就是 \(\sqrt{2}+1\)。②当距离最大值最大时，显然 \(A(1,0),B(-2,0)\)，但限制 \(x<0\) 所以临界取不到，最大值为 3。③考虑最大值最小时点 C 的坐标，我们求过最优时 \(B(-1,1)\)，且 \(OB ⊥ BC\)，画 OB 垂线可知它和 \(⊙D\) 有两个交点，因为点 C 在 \(⊙D\) 上，所以我们直接求两交点坐标就是两个解。列勾股方程：设 \(C(m,m+2)\)，则 \((m-3)^2+(m+2-4)^2=2^2\)，解得 m 后代入坐标，得出答案。最终答案：\(\boxed{\sqrt{2}+1\le d(⊙O,BC,A)\le 3;C_1(\frac{5-\sqrt{7}}{2},\frac{9-\sqrt{7}}{2}),C_2(\frac{5+\sqrt{7}}{2},\frac{9+\sqrt{7}}{2})}\)。