2026 西城九上期末题解

代数综合

（1）y=c 当且仅当 \(ax^2-4ax=0\)，解得 \(x_1=0,x_2=4\)，答案为 4。

（2）\(\forall a<x_1<a+2,a+2<x_2<a+3,y_1<y_2\)，等价于 \(\max\{y_1\}\le\min\{y_2\}\)，利用二次函数增减性判断即可。记 \(f(x)=ax^2-4ax+c\)，可求对称轴横坐标为 2，开始分类讨论：①当 \(a\ge 1\) 时函数开口向上，\(\max\{y_1\}<f(a+2),\min\{y_2\}>f(a+2)\)，始终满足条件。②当 \(0<a<1\) 时函数开口向上，\(\max\{y_1\}<f(a),\min\{y_2\}>f(a+2)\)，解 \(f(a)\le f(a+2)\) 可得 \(a\ge 1\)，舍去。③当 \(a<0\) 时函数开口向下，\(\max\{y_1\}<f(a+2),\min\{y_2\}>f(a+3)\)，解 \(f(a+2)\le f(a+3)\) 可得 \(a\le\frac{1}{2}\)。综上，答案为 \(a\ge 1\) 或 \(a\le\frac{1}{2}\)。

几何综合

（1）导角即可。

（2）猜测结论为 \(\sqrt{2}\) 倍，需要等腰直，看到等腰直 \(\triangle AFE\)，直接考虑手拉手，将 FB 逆时针旋转 90° 至 FG，连接 BG,EG，通过手拉手可得 \(\triangle ABF≌\triangle EGF\)，BF 可转移到 BG，只需证 \(BG=AD\)。注意到有可能 \(\triangle ABD≌\triangle GEB\)，两条边用给定等腰和已证全等证是显然的，现在要导角证明 \(\angle ABD=\angle GEB\)，显然前者为 45°，对于后者，一种方法是劈开两半导角到 \(\angle EAF\)，最终 \(AD=\sqrt{BF}\)。

新定义

（1）画图可知是点 A，对于距离，显然超过 1 的距离无解，在原上找到一点，与 \((1,0)\) 连接所得线段长度为 1，这是可以找到的，所有两点最大值为 1。

（2）（i）考虑求出 \(y=x\) 上 \(⊙O\) 关联点的点的集合，①当点 T 最靠左下时，长度为 2 的线段 MN 一定垂直与函数最划算，才能尽可能在两边都与圆相交，也就是线段 MN 为圆的一条长度为 2 的弦。考虑求此时点 T 的坐标，可以先求出 OT 的长度，画图并利用垂径定理和勾股定理求得 \(OT=\sqrt{2}\)，进而 \(T(1,1)\)。②当 T 最靠右上时，是又可能在圆外的，最极限情况下，过点 T 作圆的一条切线，交圆上一点与点 P，则 \(TP=1\)。因为点 T 只要在靠左下一定，长度为 1 的 TP 就能“插”到圆里面了。因为切线 \(\angle TPO=90°\)，直接用勾股定理得到 \(OT=2\)，进而 \(T(\sqrt{2},\sqrt{2})\)。综上，\(1\le t<\sqrt{2}\)。

（ii）首先依据圆的对称性，可以把（2）中的函数旋转，直接推广到所有情况，\(⊙O\) 关联点的点的集合为一个圆环，外圆和内圆半径分别为 \(\sqrt{2},1\)，外圆的一圈不能取。考虑关联值不超过 1 这一限制，①当点 T 在圆内时，我们可以转动 \(MN\)，得到大于 1 的距离，所以这部分直接舍去。②当点 T 在圆上或圆外时，因为只能用 \(MT\) 或 \(NT\) 一边去接触两次圆，所以这个距离一定不超过 1，所以加上限制后，OT 取值范围为 \(\sqrt{3}\le OT<2\)，也就是一个圆环，线段 EF 应该在这个圆环内。开始求 m，讨论边界情况，①当 EF 为内圆切线时，m 最小，直接把 OT 乘 \(\sqrt{2}\) 就是 m 的最小值 \(\sqrt{6}\)。②当 EF 为一条垂直于直径的长度为 1 的弦时，m 最大，利用垂径定理、勾股定理求得 EF 到圆心的距离为 \(\frac{\sqrt{15}}{2}\)，进而 m 的最大值（这个取不到）为 \(\frac{\sqrt{30}}{2}\)。综上，\(\sqrt{6}\le m<\frac{\sqrt{30}}{2}\)。