2026 东城九上期末题解

代数综合

（1）直接待定系数法求出 \(b=-2\)。

（2）可以求出该函数对称轴横坐标为 1，有两个交点，第一个交点一定是点 M，只要 \(m\neq 1\) 就一定存在直线 MP 的另一个交点，但要看是否在 M,P 之间。①当 \(m>1\) 时，引入（3）关于点 Q 的定义，发现点 Q 只要在点 P 上面，那么另一个交点就一定在线段 MP 上，所以 \((-2m)^2-2(-2m)+3\ge m^2-2m+3\)，解得 \(m\ge -2\)，该部分全部满足。②当 \(0\le m<1\) 时，画图发现点 P 在 y 轴左侧但函数一定比点 P 高，显然交不上线段 MP，不满足要求。③当 \(m<0\) 时与第一种情况相同，只是最终的解集变为 \(m\le -2\)，直接取。最终答案为 \(m>1\) 或 \(m\le -2\)。

（3）上一问就求出了 P,Q 坐标，直接纵坐标相减取绝对值得到 \(PQ=|3m^2+6m|\)，相当于求这个函数单调递增的所有段。显然函数 \(y=3m^2+6m\) 与 x 轴交点为 \((0,0),(-2,0)\)，所以把该函数 \(-2< x<0\) 部分关于 x 轴对称，就变成了 PQ。还能求出这个二次函数的顶点横坐标为 -1。所以当 \(x\le-1\) 时原二次函数单调递减，\(x\ge 1\) 时原函数单调递增，翻转 \(-2<x<0\) 的部分，单调递增的范围就变成了 \(-2\le x\le -1\) 或 \(x\ge 0\)，实际上是讨论四种情况。最终答案：\(-2\le m\le -1\) 或 \(m\ge 0\)。

几何综合

（1）等腰直转移+一线三垂直的全等即可。

（2）方法一：连接 AF，延长 DH 交 AF 于点 P，利用平行+中点证明 \(\triangle BHD≌\triangle FHD\)，进而证明 H 为 DP 中点，继而用斜边中线证明 \(AH=DH\)。

方法二：作 CN⊥BC 交 BA 延长线于点 N，连接 BE,FN，构造出手拉手全等 \(\triangle BCE≌\triangle NCF\)，AH 通过中位线转移到 NF，通过手拉手转移到 BE，再分别转移到 EC,FC，最后再用一次中位线，得出 \(AH=DH\)。

新定义

（1）直接依据题意模拟，已知一个点和中点可以求出另一个点，在正方形内即可，答案为 \(P_1,P_3\)。

（2）考虑画出 x 轴上的所有点分别关于正方形中所有点的对称点，连接这些线段的中点集合就是 M 点的合法范围。我们讨论这个集合中所有点的纵坐标，显然这只由取正方形哪个点决定，因为 x 轴上的点纵坐标恒为 0，正方形中取最靠上的点中点纵坐标越大，取正方形上界纵坐标为 2，和 0 取中点后为 1，取最下方同理，所以符合要求的 M 点纵坐标在 -1~1 之间。依据坐标可知 M 在函数 \(y=-m+4\) 的图像上，当 \(y=1\) 时解得 \(m=3\)，当 \(y=-1\) 时解得 \(m=5\)，答案在两者之间，即 \(3\le m\le 5\)。

（3）和（2）类似，考虑所有满足题意的点的集合，先求出 \(⊙T\) 上所有点关于正方形所有点的对称点，然后取中点集合，显然最终范围的横坐标是有限制的，最左侧横坐标为 (正方形取最左侧的横坐标+圆取最左侧的横坐标)/2，代入可得 \(\frac{-1+(t-1)}{2}=\frac{t}{2}-1\)，最右侧同理，横坐标为 \(\frac{3+(t+1)}{2}=\frac{t}{2}+2\)，经过画图可知点集是一个矩形。现在只需要限制圆的横坐标和矩形有交集，纵坐标不用管，那么 \(\frac{t}{2}+2\le t-1\) 且 \(\frac{t}{2}-1\le t+1\)，解得 \(4\le t\le 6\)。