[高等数学]解析一道关于函数极限的概念考察题(001)
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题目
下列命题中正确的是（）
( A ) 若 \(\lim_{x \rightarrow x_{0}} f(x) \geqslant \lim_{x \rightarrow x_{0}}g(x)\), 则 \(\exists \varepsilon > 0\), 当 \(0<|x-x_{0}|<\varepsilon\) 时，\(f(x) \geqslant g(x)\).
( B ) 若 \(\exists \varepsilon>0\), 当 \(0<|x-x_{0}|<\varepsilon\) 时，\(f(x)>g(x)\), 且 \(\lim_{x \rightarrow x_{0}}f(x)=A_{0}, \lim_{x \rightarrow x_{0}}g(x)=B_{0}\), 则 \(A_{0}>B_{0}\).
( C ) 若 \(\exists \varepsilon>0\), 当 \(0<|x-x_{0}|<\varepsilon\) 时，\(f(x)>g(x)\), 则 \(\lim_{x \rightarrow x_{0}}f(x) \geqslant \lim_{x \rightarrow x_{0}}g(x)\).
( D ) 若 \(\lim_{x \rightarrow x_{0}}f(x)>\lim_{x \rightarrow x_{0}}g(x)\), 则 \(\exists \varepsilon>0\), 当 \(0<|x-x_{0}|<\varepsilon\) 时，\(f(x)>g(x)\).
解析
概念考察题是考研数学中一类比较难的题，这类题的难点在于除了紧抠概念之外，解答者没有多少可以自由发挥的空间。而且，概念考察题考察的都是概念的细微之处，一不留神就可能审错题。
从本题的四个选项可以看出，本题考查的着重点在函数极限这一部分。更细致的来看，本题考查了函数极限的定义中当 \(x \rightarrow x_{0}\) 时的极限的定义，如下：
已知 \(\lim_{x \rightarrow x_{0}}f(x)=A\)
任给 \(\varepsilon >0\), 存在正数 \(\delta\), 当 \(0<x-x_{0}<\delta\) 时，就有 \(|f(x)-A|<\varepsilon\).
注：上面这个定义说的通俗一点就是，当 \(x\) 与 \(x_{0}\) 足够接近的时候，\(f(x)\) 与 \(f(x)\) 的极限 \(A\) 也足够接近。
本题还考察了函数极限的性质中的“保号性”，如下：
设 \(\lim f(x)=A>0\), 则在极限管辖的范围内，\(f(x)>0(f(x)>\frac{A}{2})\).
反之，\(f(x)>0\) 且 \(\lim f(x)=A \Rightarrow A \geqslant 0\).
注：当 \(x \rightarrow x_{0}\) 时，“极限管辖的范围”指的就是 \(x_{0}\) 的去心邻域；当 \(x \rightarrow \infty\) 时，“极限管辖的范围”指的就是无穷远处。
对于函数极限的性质中的保号性，我们需要明确以下几点：
-
解答保号性问题的大前提是“涉及到的函数的极限均存在”，这也是解决所有涉及极限的问题的大前提：要研究和利用极限，则极限必须存在；
-
保号性都是局部保号性，即只有在极限管辖的范围内才存在保号性；
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由极限大于 \(0\) 可以推出函数大于 \(0\), 不能推出函数等于 \(0\) 或者函数小于 \(0\). 由函数大于 \(0\) 可以推出极限大于 \(0\) 或者极限等于 \(0\), 而且在不确定极限究竟是只大于 \(0\) 还是只小于 \(0\) 的情况下，要写成极限大于等于 \(0\) 的形式。
以下是对本题中每一个选项的分析。
A 选项
该选项给出了：
\(\lim_{x \rightarrow x_{0}} f(x) \geqslant \lim_{x \rightarrow x_{0}}g(x)\)
这说明 \(f(x)\) 和 \(g(x)\) 的极限都存在（满足了研究极限问题的大前提，条件可用，可以继续接下来的思考步骤）且 \(f(x)\) 的极限大于等于 \(f(x)\) 的极限。
于是，我们有：
\(\lim_{x \rightarrow x_{0}}(f(x)-g(x)) \geqslant 0\)
接下来选项给出了：
若 \(\exists \varepsilon > 0\), 当 \(0<|x-x_{0}|<\varepsilon\) 时
这说明我们是要在“函数极限的管辖范围内”讨论这个选项的说法，具备使用保号性的前提，条件可用，可以继续接下来的思考步骤。
该选项接下来指出，由上面的条件可以推出 \(f(x) \geqslant g(x)\).
这个结论是不对的。原因如下：
若函数 \(f(x)\) 的极限 \(A >0\), 则可以推出函数 \(f(x)>0\);
若函数 \(f(x)\) 的极限 \(A<0\), 则可以推出函数 \(f(x)<0\);
若函数 \(f(x)\) 的极限 \(A=0\), 则不能确定函数 \(f(x)\) 是大于 \(0\), 小于 \(0\) 还是等于 \(0\). 原因是，如果 \(A=0\) 我们不知道函数 \(f(x)\) 是在大于 \(0\) 的方向上趋近于极限 \(A\), 还是在小于 \(0\) 的方向上趋近于极限 \(A\), 抑或 \(f(x)=0\).
如图 1 所示，当函数的极限等于 \(0\) 时，函数可能是大于 \(0\) 的：
图 1. y=1/x 的局部图像，使用 www.desmos.com 生成
如图 2 所示，当函数的极限等于 0 时，函数也可能是小于 \(0\) 的：
图 2. y=1/(-x) 的局部图像，使用 www.desmos.com 生成
第三种情况，当函数的极限等于 \(0\) 时，函数可能也是等于 \(0\) 的，如图 3 所示：
图 3. y=0 的局部图像，使用 www.desmos.com 生成
因此，已知极限 \(\lim_{x \rightarrow x_{0}}[f(x)-g(x)]\geqslant0\), 并不能推导出函数 \(F(x)=[f(x)-g(x)]\geqslant0\).
综上可知，选项 A 是错误的。
B 选项
题目中给出了如下条件：
若 \(\exists \varepsilon>0\), 当 \(0<|x-x_{0}|<\varepsilon\) 时
因此，本题符合函数极限保号性的使用条件，条件可用，可以继续接下来的思考步骤。
接着，该选项给出：
\(f(x)>g(x)\)
于是，当我们令 \(F(x)=f(x)-g(x)\) 时，可以得出如下结论：
\(F(x)>0\)
接着，该选项又给出：
\(\lim_{x \rightarrow x_{0}}f(x)=A_{0}, \lim_{x \rightarrow x_{0}}g(x)=B_{0}\)
这说明函数 \(f(x)\) 和函数 \(g(x)\) 都是存在极限的，符合我们研究函数极限问题的大前提，条件可用，可以继续接下来的思考步骤。
最后，该选项给出了他的结论：
\(A_{0}>B_{0}\)
有了这个结论，结合前面的条件，我们可以把该选项改写成如下形式：
已知函数 \(F(x)\) 存在极限，且函数 \(F(x)>0\), 则 \(\lim_{x \rightarrow x_{0}}F(x)>0\).
这个结论显然是错误的，因为已知函数大于 \(0\) 的时候，其极限是可能等于 \(0\) 的，例如对 A 选项的解析中给出的图 1, 函数 \(f(x)=\frac{1}{x}\) 始终是大于 \(0\) 的，但是其极限却是等于 \(0\) 的。
综上可知，选项 B 是错误的。
C 选项
该选项的错误比较明显，因为选项中没有指明函数 \(f(x)\) 和函数 \(g(x)\) 的极限存在，缺少了研究极限问题的大前提，那么，接下来的所有说明和结论都是没有根据也没有意义的。不过，如果 C 选项像 B 选项一样指明函数 \(f(x)\) 和函数 \(g(x)\) 的极限是存在的，那么该选项的表述就是正确的，原因在 B 选项中已经分析过。
综上可知，选项 C 是错误的。
D 选项
该选项首先给出了如下条件：
\(\lim_{x \rightarrow x_{0}}f(x)>\lim_{x \rightarrow x_{0}}g(x)\)
若我们令 \(F(x)=f(x)-g(x)\), 则上面的条件可以改写成：
\(\lim_{x \rightarrow x_{0}}F(x)>0\)
接着选项给出了：
若 \(\exists \varepsilon>0\), 当 \(0<|x-x_{0}|<\varepsilon\) 时
这说明我们是要在“函数极限的管辖范围内”讨论这个选项的说法，具备使用保号性的前提，条件可用，可以继续接下来的思考步骤。
接着，该选项给出了它的结论：
\(f(x)>g(x)\)
根据前面的分析可知，我们可以将此改写成：
\(F(x)>0\)
我们知道，当一个函数的极限存在且大于 \(0\) 的时候，在函数极限的管辖范围内，可以推导出该函数也大于 \(0\).
综上可知，选项 D 是正确的。
EOF
