[高等数学]解析一道关于函数极限的概念考察题(001)

原文: https://zhaokaifeng.com/?p=1935

题目

下列命题中正确的是()

( A ) 若 \(\lim_{x \rightarrow x_{0}} f(x) \geqslant \lim_{x \rightarrow x_{0}}g(x)\), 则 \(\exists \varepsilon > 0\), 当 \(0<|x-x_{0}|<\varepsilon\) 时,\(f(x) \geqslant g(x)\).

( B ) 若 \(\exists \varepsilon>0\), 当 \(0<|x-x_{0}|<\varepsilon\) 时,\(f(x)>g(x)\), 且 \(\lim_{x \rightarrow x_{0}}f(x)=A_{0}, \lim_{x \rightarrow x_{0}}g(x)=B_{0}\), 则 \(A_{0}>B_{0}\).

( C ) 若 \(\exists \varepsilon>0\), 当 \(0<|x-x_{0}|<\varepsilon\) 时,\(f(x)>g(x)\), 则 \(\lim_{x \rightarrow x_{0}}f(x) \geqslant \lim_{x \rightarrow x_{0}}g(x)\).

( D ) 若 \(\lim_{x \rightarrow x_{0}}f(x)>\lim_{x \rightarrow x_{0}}g(x)\), 则 \(\exists \varepsilon>0\), 当 \(0<|x-x_{0}|<\varepsilon\) 时,\(f(x)>g(x)\).

解析

概念考察题是考研数学中一类比较难的题,这类题的难点在于除了紧抠概念之外,解答者没有多少可以自由发挥的空间。而且,概念考察题考察的都是概念的细微之处,一不留神就可能审错题。

从本题的四个选项可以看出,本题考查的着重点在函数极限这一部分。更细致的来看,本题考查了函数极限的定义中当 \(x \rightarrow x_{0}\) 时的极限的定义,如下:

已知 \(\lim_{x \rightarrow x_{0}}f(x)=A\)

任给 \(\varepsilon >0\), 存在正数 \(\delta\), 当 \(0<x-x_{0}<\delta\) 时,就有 \(|f(x)-A|<\varepsilon\).

注:上面这个定义说的通俗一点就是,当 \(x\)\(x_{0}\) 足够接近的时候,\(f(x)\)\(f(x)\) 的极限 \(A\) 也足够接近。

本题还考察了函数极限的性质中的“保号性”,如下:

\(\lim f(x)=A>0\), 则在极限管辖的范围内,\(f(x)>0(f(x)>\frac{A}{2})\).

反之,\(f(x)>0\)\(\lim f(x)=A \Rightarrow A \geqslant 0\).

注:当 \(x \rightarrow x_{0}\) 时,“极限管辖的范围”指的就是 \(x_{0}\) 的去心邻域;当 \(x \rightarrow \infty\) 时,“极限管辖的范围”指的就是无穷远处。

对于函数极限的性质中的保号性,我们需要明确以下几点:

  • 解答保号性问题的大前提是“涉及到的函数的极限均存在”,这也是解决所有涉及极限的问题的大前提:要研究和利用极限,则极限必须存在;

  • 保号性都是局部保号性,即只有在极限管辖的范围内才存在保号性;

  • 由极限大于 \(0\) 可以推出函数大于 \(0\), 不能推出函数等于 \(0\) 或者函数小于 \(0\). 由函数大于 \(0\) 可以推出极限大于 \(0\) 或者极限等于 \(0\), 而且在不确定极限究竟是只大于 \(0\) 还是只小于 \(0\) 的情况下,要写成极限大于等于 \(0\) 的形式。

以下是对本题中每一个选项的分析。

A 选项

该选项给出了:

\(\lim_{x \rightarrow x_{0}} f(x) \geqslant \lim_{x \rightarrow x_{0}}g(x)\)

这说明 \(f(x)\)\(g(x)\) 的极限都存在(满足了研究极限问题的大前提,条件可用,可以继续接下来的思考步骤)且 \(f(x)\) 的极限大于等于 \(f(x)\) 的极限。

于是,我们有:

\(\lim_{x \rightarrow x_{0}}(f(x)-g(x)) \geqslant 0\)

接下来选项给出了:

\(\exists \varepsilon > 0\), 当 \(0<|x-x_{0}|<\varepsilon\)

这说明我们是要在“函数极限的管辖范围内”讨论这个选项的说法,具备使用保号性的前提,条件可用,可以继续接下来的思考步骤。

该选项接下来指出,由上面的条件可以推出 \(f(x) \geqslant g(x)\).

这个结论是不对的。原因如下:

若函数 \(f(x)\) 的极限 \(A >0\), 则可以推出函数 \(f(x)>0\);

若函数 \(f(x)\) 的极限 \(A<0\), 则可以推出函数 \(f(x)<0\);

若函数 \(f(x)\) 的极限 \(A=0\), 则不能确定函数 \(f(x)\) 是大于 \(0\), 小于 \(0\) 还是等于 \(0\). 原因是,如果 \(A=0\) 我们不知道函数 \(f(x)\) 是在大于 \(0\) 的方向上趋近于极限 \(A\), 还是在小于 \(0\) 的方向上趋近于极限 \(A\), 抑或 \(f(x)=0\).

如图 1 所示,当函数的极限等于 \(0\) 时,函数可能是大于 \(0\) 的:

图 1. y=1/x 的局部图像,使用 www.desmos.com 生成

如图 2 所示,当函数的极限等于 0 时,函数也可能是小于 \(0\) 的:

图 2. y=1/(-x) 的局部图像,使用 www.desmos.com 生成

第三种情况,当函数的极限等于 \(0\) 时,函数可能也是等于 \(0\) 的,如图 3 所示:

图 3. y=0 的局部图像,使用 www.desmos.com 生成

因此,已知极限 \(\lim_{x \rightarrow x_{0}}[f(x)-g(x)]\geqslant0\), 并不能推导出函数 \(F(x)=[f(x)-g(x)]\geqslant0\).

综上可知,选项 A 是错误的。

B 选项

题目中给出了如下条件:

\(\exists \varepsilon>0\), 当 \(0<|x-x_{0}|<\varepsilon\)

因此,本题符合函数极限保号性的使用条件,条件可用,可以继续接下来的思考步骤。

接着,该选项给出:

\(f(x)>g(x)\)

于是,当我们令 \(F(x)=f(x)-g(x)\) 时,可以得出如下结论:

\(F(x)>0\)

接着,该选项又给出:

\(\lim_{x \rightarrow x_{0}}f(x)=A_{0}, \lim_{x \rightarrow x_{0}}g(x)=B_{0}\)

这说明函数 \(f(x)\) 和函数 \(g(x)\) 都是存在极限的,符合我们研究函数极限问题的大前提,条件可用,可以继续接下来的思考步骤。

最后,该选项给出了他的结论:

\(A_{0}>B_{0}\)

有了这个结论,结合前面的条件,我们可以把该选项改写成如下形式:

已知函数 \(F(x)\) 存在极限,且函数 \(F(x)>0\), 则 \(\lim_{x \rightarrow x_{0}}F(x)>0\).

这个结论显然是错误的,因为已知函数大于 \(0\) 的时候,其极限是可能等于 \(0\) 的,例如对 A 选项的解析中给出的图 1, 函数 \(f(x)=\frac{1}{x}\) 始终是大于 \(0\) 的,但是其极限却是等于 \(0\) 的。

综上可知,选项 B 是错误的。

C 选项

该选项的错误比较明显,因为选项中没有指明函数 \(f(x)\) 和函数 \(g(x)\) 的极限存在,缺少了研究极限问题的大前提,那么,接下来的所有说明和结论都是没有根据也没有意义的。不过,如果 C 选项像 B 选项一样指明函数 \(f(x)\) 和函数 \(g(x)\) 的极限是存在的,那么该选项的表述就是正确的,原因在 B 选项中已经分析过。

综上可知,选项 C 是错误的。

D 选项

该选项首先给出了如下条件:

\(\lim_{x \rightarrow x_{0}}f(x)>\lim_{x \rightarrow x_{0}}g(x)\)

若我们令 \(F(x)=f(x)-g(x)\), 则上面的条件可以改写成:

\(\lim_{x \rightarrow x_{0}}F(x)>0\)

接着选项给出了:

\(\exists \varepsilon>0\), 当 \(0<|x-x_{0}|<\varepsilon\)

这说明我们是要在“函数极限的管辖范围内”讨论这个选项的说法,具备使用保号性的前提,条件可用,可以继续接下来的思考步骤。

接着,该选项给出了它的结论:

\(f(x)>g(x)\)

根据前面的分析可知,我们可以将此改写成:

\(F(x)>0\)

我们知道,当一个函数的极限存在且大于 \(0\) 的时候,在函数极限的管辖范围内,可以推导出该函数也大于 \(0\).

综上可知,选项 D 是正确的。

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posted @ 2019-06-29 09:19  ZhaoKaifengCom  阅读(634)  评论(0编辑  收藏