2008 年研究生入学考试数学一填空题第 2 题解析

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题目

曲线 \(\sin (xy)+\ln(y-x)=x\) 在点 \((0,1)\) 处的切线方程为____.

解析

本题需要用到求导法则和切线方程公式的相关知识。

需要用到的求导公式有:

  • \((\sin x)'=\cos x;\)

  • \((\ln x)'=\frac{1}{x};\)

  • \((ab)'=a'b+ab';\)

  • \(f'(x)=f'[\phi(x)]\cdot\phi'(x).\)

求导过程中另外需要注意的两点如下:

  • \(x\) 求导,则包括 \(x\) 和其他常量都要按照求导公式进行计算,而除了 \(x\) 之外的其他变量则只加上求导符号 (例如: ') 即可,不进行求导计算;

  • 等式两边对同一变量求导后,等式仍然成立。因为求导前是等式,求导规则也一致,则求导后等式两边仍然恒等。

切线方程的计算公式如下:

\(y-f(x_{0})=f'(x_{0})(x-x_{0}).\)

解答思路如下:

由于切线方程的计算公式中包含导数 \(f'(x)\),因此,首先需要计算出导数。原式两边同时对 \(x\) 求导可以产生导数 \(y'\)

\([\sin(xy)+\ln(y-x)]'=(x)'\Rightarrow\cos(xy)(x'y+xy')+\frac{1}{y-x}(y-x)'=1\Rightarrow \cos(xy)(y+xy')+\frac{1}{y-x}(y'-1)=1\)

要求的是曲线在点 \((0,1)\) 处的切线方程,因此,我们把 \(x=0;y=1\)带入上面的到的式子中,得:

\(1\cdot1+1\cdot(y'-1)=1\Rightarrow 1+y'-1=1\Rightarrow y'=1.\)

即:

\(y'(0)=1.\)

将上述结果带入切线方程求导公式得:

\(y-1=1\cdot(x-0)\Rightarrow y=x+1.\)

综上可知,本题得答案是:\(y=x+1\)

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posted @ 2019-06-23 23:17  ZhaoKaifengCom  阅读(...)  评论(...编辑  收藏