2008 年研究生入学考试数学一填空题第 2 题解析
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题目
曲线 \(\sin (xy)+\ln(y-x)=x\) 在点 \((0,1)\) 处的切线方程为____.
解析
本题需要用到求导法则和切线方程公式的相关知识。
需要用到的求导公式有：
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\((\sin x)'=\cos x;\)
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\((\ln x)'=\frac{1}{x};\)
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\((ab)'=a'b+ab';\)
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\(f'(x)=f'[\phi(x)]\cdot\phi'(x).\)
求导过程中另外需要注意的两点如下：
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对 \(x\) 求导，则包括 \(x\) 和其他常量都要按照求导公式进行计算，而除了 \(x\) 之外的其他变量则只加上求导符号 (例如: ') 即可，不进行求导计算；
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等式两边对同一变量求导后，等式仍然成立。因为求导前是等式，求导规则也一致，则求导后等式两边仍然恒等。
切线方程的计算公式如下：
\(y-f(x_{0})=f'(x_{0})(x-x_{0}).\)
解答思路如下：
由于切线方程的计算公式中包含导数 \(f'(x)\)，因此，首先需要计算出导数。原式两边同时对 \(x\) 求导可以产生导数 \(y'\)：
\([\sin(xy)+\ln(y-x)]'=(x)'\Rightarrow\cos(xy)(x'y+xy')+\frac{1}{y-x}(y-x)'=1\Rightarrow \cos(xy)(y+xy')+\frac{1}{y-x}(y'-1)=1\)
要求的是曲线在点 \((0,1)\) 处的切线方程，因此，我们把 \(x=0;y=1\)带入上面的到的式子中，得：
\(1\cdot1+1\cdot(y'-1)=1\Rightarrow 1+y'-1=1\Rightarrow y'=1.\)
即：
\(y'(0)=1.\)
将上述结果带入切线方程求导公式得：
\(y-1=1\cdot(x-0)\Rightarrow y=x+1.\)
综上可知，本题得答案是：\(y=x+1\)
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