2017 年研究生入学考试数学一选择题第 4 题解析（两种方法）
题目
甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方 10（单位：m）处. 图中，实线表示甲的速度曲线 \(v=v_{1}(t)\) （单位 : m/s），虚线表示乙的速度曲线 \(v=v_{2}(t)\) （单位 : m/s），三块阴影部分面积的数值依次为 10, 20, 3. 计时开始后乙追上甲的时刻记为 \(t_{0}\) （单位 : s），则（）
( A ) \(t_{0}=10.\)
( B ) \(15<t_{0}<20.\)
( C ) \(t_{0}=25.\)
( D ) \(t_{0}>25.\)
解析
方法一
从物理学的角度，本题就是考查速度与路程的关系。
题目中给出的 X-Y 坐标图像是“时间-速度”图像。那么，根据物理学知识我们知道，该曲线与坐标轴围成的图像的面积就是走过的路程。我们又知道，实线表示甲，虚线表示乙，而且刚开始时甲在乙前面 10 米处。
由图像可知，当 \(t=10\) 时，甲在乙前面 20 米处，当 \(t=25\) 时，乙在第 10 秒到第 25 秒之间的 15 秒时间里比甲多跑了 20 米，正好抵消了之前乙落后于甲的 20 米路程。因此，当 \(t=25\) 时，乙追上了甲，即 \(t_{0}=25\)。
综上可知，本题的正确选项是：C
方法二
从数学的角度，本题主要考查的是定积分的基本运算和定积分的几何意义。
使用高等数学解答本题需要如下关于定积分的知识：
-
定积分的几何意义：
曲边梯形的代数和.
-
定积分的基本性质：
定积分的线性性：
\(\int_{a}^{b}[k_{1}f_{1}(x)+k_{2}f_{2}(x)]dx=k_{1}\int_{a}^{b}f_{1}(x)dx+k_{2}\int_{a}^{b}f_{2}(x)dx.\)
定积分积分区间的可加性：
\(\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{c}f(x)dx+\int_{c}^{b}f(x)dx.\)
根据上面的知识，我们可以做如下推理。
如果我们约定，使用 \(v(t)\) 表示速度，使用 \(s(t)\) 表示路程，那么在从 \(0\) 到 \(t\) 这个时间段内，可以写出如下定积分表达式：
\(s(t)=\int_{0}^{t}v(t)dx.\)
因此，当乙在 \(t_{0}\) 时刻追上甲时，甲走过的路程为：
\(s_{1}(t)=\int_{0}^{t_{0}}v_{1}(t).\)
乙走过的路程为：
\(s_{2}(t)=\int_{0}^{t_{0}}v_{2}(t).\)
\(s_{2}(t)\) 和 \(s_{1}(t)\) 的关系为：
\(s_{2}(t)-10=s_{1}(t).\)
于是有：
\(s_{2}(t)-s_{1}(t)=\int_{0}^{t_{0}}v_{2}(t)-\int_{0}^{t_{0}}v_{1}(t)=\int_{0}^{t_{0}}[v_{2}(t)-v_{1}(t)]=10.\)
由于在从 \(0\) 到 \(10\) 秒的时间段内，\(v_{2}\) 始终大于 \(v_{1}\), 因此，乙超过甲的时间 \(t_{0}\) 一定大于 \(10\), 于是有：
\(\int_{0}^{10}[v_{2}(t)-v_{1}(t)]+\int_{10}^{t_{0}}[v_{2}(t)-v_{1}(t)]=10.\)
又由于，从题中给出的图像我们可以看出：
\(\int_{0}^{10}[v_{2}(t)-v_{1}(t)]=10.\)
因此有：
\(\int_{10}^{t_{0}}[v_{2}(t)-v_{1}(t)]=20. (1)\)
根据题中图像可知，在第 \(10\) 秒到第 \(25\) 秒这段时间里，图像中对应的阴影部分的面积为 20, 所以当 \(t_{0}=25\) 时，\((1)\) 式成立。
综上可知，本题的正确选项是：C
EOF
