2017 年研究生入学考试数学一选择题第 1 题解析

题目

若函数 \(f(x)=\left\{\begin{matrix} \frac{1-\cos\sqrt{x}}{ax}, x > 0 \\ b, x\leqslant 0 \end{matrix}\right.\)，在 \(x=0\) 处连续，则（）

( A ) \(ab = \frac{1}{2}\)

( B ) \(ab = - \frac{1}{2}\)

( C ) \(ab = 0\)

( D ) \(ab = 2\)

解析

这道题可以根据函数连续的定义解出。

函数 \(f(x)\) 在某一点 \(x_{0}\) 处连续的定义如下：

\(\lim_{x \rightarrow x_{0^{-}}} = \lim_{x \rightarrow x_{0^{+}}} = f(x_{0})\)

因此，若函数 \(f(x)\) 在 \(x = 0\) 处连续，则根据定义的话，我们需要证明：

\(\lim_{x \rightarrow 0^{-}} = \lim_{x \rightarrow 0^{+}} = f(0)\)

观察题目可知，这是一个分段函数，且当 \(x \in (- \infty, 0]\) 时，\(f(x)=b\). 于是，当 \(x\) 从左边趋近于 \(0\) 时，\(f(0^{-}) = b\).

当 \(x\) 从右边趋近于 \(0\) 时，适用的取值范围为 \(x>0\), 而对应的函数值为：

\(\lim_{x \rightarrow 0^{+}}f(x) = \lim_{x \rightarrow 0^{+}}\frac{1-\cos\sqrt{x}}{ax}\)

根据如下的等价无穷小原则：

\(1- \cos x \sim \frac{1}{2}x^{2}\)

于是有：

原式 \(=\lim_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\frac{1}{2}(\sqrt{x})^{2}}{ax} = \frac{1}{2a}\)

为了满足上面提到的函数在一点处连续的定义，需要有：

\(\frac{1}{2a} = b\)

化简形式得：

\(ab = \frac{1}{2}\)

由此可知，选 A.

EOF