使用定义判断函数的奇偶性

题目

判断函数 \(f(x)=ln(x+\sqrt{1+x^{2}})\) 的奇偶性。

解析

本题用到的知识点

\(log_{a}(MN)=log_{a}M+log_{a}N\)

在 MATLAB (下面的代码在 MATLAB 9.1.0.441655 (R2016b) 中测试通过) 中输入如下代码：

x=0:0.01:10;
semilogy(x,log(x))

可以绘制出 \(y=ln(x)\) 的图像：

图 1

有图像可以看到，自然对数 \(ln(x)\) 只在 \((0,+\infty)\) 的区间里有定义，不符合对数函数或者偶数函数对于“定义域 \(X\) 关于原点对称”的要求。不过题目中的函数可以看作是一个符合函数，因此，我们还需要结合 \(g(x)=x+\sqrt{1+x^{2}}\) 的定义域来确定 \(f(x)\) 的定义域。

因为：

\(\sqrt{1+x^{2}}>\sqrt{x^{2}}>|x|>0\)

则：

当 \(x\in (-\infty,+\infty)\) 时 \(x+\sqrt{1+x^{2}} > 0\) 满足自然对数函数 \(ln(x)\) 对定义域的要求，而且，当 \(x=0\) 时，\(f(x)=ln(1)=0\), 也满足奇函数“当f(x)在原点处有定义时，f(0)=0”的要求。

到这里，定义域的问题解决了，下面要解决的是函数是关于 \(y\) 轴对称，还是关于原点对称的问题。

由于：

\(f(x)=ln(x+\sqrt{1+x^{2}})\)

\(f(-x)=ln(-x+\sqrt{1+x^{2}})\)

则：

\(f(x)+f(-x)=ln(\sqrt{1+x^{2}}+x)+ln(\sqrt{1+x^{2}}-x)=ln[(\sqrt{1+x^{2}}+x)(\sqrt{1+x^{2}}-x)]=ln(1+x^{2}-x^{2})=ln(1)=0\)

上面的运算结果符合奇函数的定义，因此，\(f(x)=ln(x+\sqrt{1+x^{2}})\) 是一个奇函数。

此外，使用 WolframAlpha 画出的函数 \(f(x)=ln(x+\sqrt{1+x^{2}})\) 的图像如下：

图 2. 图片来自 https://www.wolframalpha.com/

由图像我们也可以看出这是一个奇函数。

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