错题总结：明确求导过程中的自变量很关键

例题：对下面的函数求导

$f(x) = \sqrt{1+x} + \sqrt{1-x} - 2$

错误的求导过程

${f}'(x) = {(\sqrt{1 + x})}' + {(\sqrt{1 - x})}' + {2}'
={((1 + x)^{\frac{1}{2}})}' + {((1 - x)^{\frac{1}{2}})}'
=\frac{1}{2} \frac{1}{\sqrt{1+x}} + \frac{1}{2} \frac{1}{\sqrt{1-x}}
=\frac{1}{2 \sqrt{1+x}} + \frac{1}{2 \sqrt{1-x}}$

上面这个计算过程是错的，错误的原因是在计算 $\sqrt{1+x}$ 的导数时把 $1+x$ 视作了自变量，也就是说把 $1+x$ 视作了求导对象；而在对 $\sqrt{1-x}$ 求导时，又把 $1-x$ 看作了求导自变量。

很显然，一个二维函数中不可能有两个不同的自变量，而且根据约定可知，当式子中出现 $f(x)$ 或者 $lim_{x \to 0}$ 时，就表明这个式子中的自变量是 $x$ 且求导也要对 $x$ 求导。

正确的求导过程

这里我们可以使用复合函数求导的链式法则计算本例题，复合函数的链式求导法则如下：

设 $y = f(u), u = \mu(x)$, 如果 $\mu(x)$ 在 $x$ 处可导，$f(x)$ 在对应点 $u$ 处可导，则复合函数 $y = f[\mu(x)]$ 在 $x$ 处可导，且有：

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du}\frac{du}{dx} = {f}'[\mu(x)]{\mu}'(x)$

于是，对于例题的正确求导过程如下：

${f}'(x) = {(\sqrt{1 + x})}' + {(\sqrt{1 - x})}' + {2}'
={((1 + x)^{\frac{1}{2}})}' + {((1 - x)^{\frac{1}{2}})}'
=\frac{1}{2}(1 + x)^{-\frac{1}{2}} + \frac{1}{2}(1 - x)^{-\frac{1}{2}}
=\frac{1}{2}(1 + x)^{-\frac{1}{2}}\times{(x)}' + \frac{1}{2}(1 - x)^{-\frac{1}{2}} \times {(-x)}'
=\frac{1}{2\sqrt{1+x}} - \frac{1}{2 \sqrt{1-x}}$