08 2023 档案
摘要：[题目链接](https://codeforces.com/problemset/problem/383/E) 拿到这题，看到求答案的方式：“平方的异或和”。这是就能想到可能有两种方式统计答案： * 直接按照他所说的去算。 算出每一种情况下的数量平方再取个异或和。 * 拆贡献 既然是平方，就无异于点
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摘要：[原题链接](https://atcoder.jp/contests/arc100/tasks/arc100_c) 不难发现我们可以处理出每个状态所有子集中 $a_i$ 的最大值和次大值，用一个 `pair` 维护，跑一遍 $\text{SOSDP}$，这时每个状态的权值就是最大值加次大值，最终输出
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摘要：原题链接 首先我们让 \(c_s\) 表示有多少 \(a_i\) 是 \(s\) 的超集，那么有：取与后是 \(s\) 的超集的集合个数 \(f_s=2^{c_i}\)（这里把空集也认为是 \(s\) 的超集，联系前后文，会发现这样其实不影响计数）。 再让 \(g_s\) 表示有多少集合取与后恰好是
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摘要：模板 求高维矩阵的前缀和 每个位置上存的是原来单点的值。 一维 点击查看代码 for (int i = 1; i <= n; i++) a[i] += a[i - 1]; 二维 容斥 点击查看代码 for (int i = 1; i <= n; i++) for (int j = 1; j <= n
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摘要：考虑霍尔定理和广义霍尔定理： 霍尔定理：对于一个左部图为 \(X\)、右部图大小为 \(Y\) 的二分图（钦定 \(|X|\leq |Y|\)），存在边数等于 \(|X|\) 的匹配的充要条件是：对于左部图的任何一个点集，右部图中和它相邻的点集大小都大于等于它（相邻的点集指的是所有点出边的并集）。
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摘要：[题目链接](https://codeforces.com/problemset/problem/1288/D) 看到题目中有很多 $\min,\max$，一眼二分答案。 考虑一个常见的套路：假设我们二分的值是 $mid$，那么我们在判断合法性时把数字矩阵变成 $01$ 矩阵：假若 $a_{i,j}
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摘要：[题目链接](http://codeforces.com/problemset/problem/1826/E "题目链接") 题意：给定一个物品序列。每个物品有 $m$ 种属性和一个收益（第 $i$ 个物品的第 $j$ 种属性为 $r_{j,i}$）。你需要从原序列中取出几个物品（可以乱序取），并给
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摘要：由于每个特工只会监视一个特工，我们判断出这是一颗基环树。 基环树的题目我们往往可以从序列以及树去入手。 考虑序列怎么做。此时存在显然的贪心策略，让 $1,3,5,7,\dots$ 这些位置的特工参与行动。对这个贪心加以分析，不难把它搬到基环树上去贪心——能选 $x$，就不去放弃 $x$ 选 $a_x
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摘要：[题目链接](https://codeforces.com/problemset/problem/1103/C "题目链接") 任取一颗 $\text{DFS}$ 树。 如果最大深度 $\geq\frac{n}{k}$，则找到了一条路径。 对于剩下的情况，我们按环去处理。钦定一个合法环中的“代表点”
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摘要：题目链接 题意 给出一棵有 \(n\) 个节点的树，要求你将集合 \(\{1,2,\dots,n\}\) 划分成若干个子集，使得没有子集拥有节点对满足两个元素在树上是祖孙关系。你需要最小化子集的最大值之和。 先考虑带有启发性的子任务 \(4\)（树是一颗链）。具体来说，树有以下两种形态： 根节点是链
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摘要：与其说树上启发式合并是一种算法，不如说是一种思想。它在于通过”小的并入大的“保证复杂度，从而解决很多看似无法做的问题。 论纯用树上启发式合并的题很少，但是很多题却可以用树上启发式合并去解决。 #### 模板 求解的问题往往具有如下性质： * 每颗子树都有要记录的信息，信息的数量和子树大小有关。 *
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摘要：[题目链接](https://codeforces.com/problemset/problem/1746/F) 这个数据范围，显然出题人出这题的本意不是让我们用带修莫队过题（当然有人过），而我们又难以找到很好的 $\text{DS}$ 维护方法。 故考虑另辟蹊径。对于所有 $a_i,x$，不妨把值
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摘要：我么采用区间染色思维去做这题（把 $P_i$ 看做一种颜色）。 钦定最终序列为 $P'$，以及 $l_i,r_i$ 分别为位置 $i$ 左右离 $i$ 最近的 $j$（满足 $P_j>P_i$）。 尝试思考每个颜色最后会覆盖到哪些位置。会发现 $[l_i,r_i]$ 其实就是 $i$ 能覆盖到的极大
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摘要：考虑二分答案。于是现在问题转化成了：$S$ 的中位数是否 $\geq x$（$x$ 为二分的值）。 可单纯这样，还没法直接做。继续转化：求出中位数 $\geq x$ 的区间个数。假设我们求出了这个区间个数（设它为 $cnt$），通过数学归纳，不难得出 $S$ 的中位数 $\geq x$ 当且仅当 $
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摘要：考虑枚举 $Y$。 根据 $Y$ 的定义，有：序列中比 $Y$ 小的数都不能被选到长为 $K$ 的区间内。所以我们不妨用那些 $<Y$ 的数把序列分割成几个连续段去处理。 有了连续段的性质之后，我们暴力处理出每个元素所处的连续段以及连续段的长度。之后再从小到大枚举 $X$，每次看看所有 $A_i=X
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摘要：不妨采用一种常见的套路：我们把每个点的点权定义为它周围边的边权异或和。那么修改一条路径就转化为了修改两个点，最终的答案就是让所有点的点权都为 $0$。 我们难以找到直接贪心的策略。但 $0\leq a_i\leq 15$，考虑对于每种权值进行状压——先把权值相同的点两两消掉。在此之后，每种权值的点只
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摘要：鉴于 $|x_j'-x|,|y_j'-y|\leq 1$，我们大胆尝试，画出所有可能的平行四边形的形状。对于任意一个合法的四边形（即满足题面中两个条件的平行四边形），会发现如下性质： 它的四个端点在 $x,y$ 轴坐标的奇偶性各不相同（不相同当且仅当 $x$ 不同或者 $y$ 不同）。 这个性质将会
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摘要：假若 $\forall S_{i,p_i}>0$，显然可以直接 $\text{DP}$： 状态：$f_i$ 表示至少得 $i$ 分的期望代价。 转移： $$ f_i=\min_{j=1}^n(C_j+\frac{1}{p_j}\sum_{k=1}^{p_j}f_{\max(i-S_{j,k},0)}
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摘要：先看一道较为类似的题：文理分科。 在那道题里，我们的最小割模型中有以下几种边： $S\to id(i,j)$，边权为 $art_{i,j}$ 其中，$id(i,j)$ 表示在第 $i$ 行第 $j$ 列的人。这条边保留表示在这个人选文科；割掉则是选理科。 $id(i,j)\to T$，边权为 $sc
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摘要：考虑最小割。不妨把问题简化成两个人去看。根据最小割建模的套路，易画出类似这样的图： 其中，$s,t$ 分别为源汇点，$x,y$ 均各自代表了一个经理。最小割中，割掉 $a$ 看作雇佣了 $x$，割掉 $c$ 看作不雇佣 $x$，$y$ 同理。 发现图中还有一个 $e$。我们割掉 $e$ 当且仅当 $
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摘要：不妨先看一个子问题：太空飞行计划问题，它就是广为人知的“最大权闭合子图”模型。 在这道子问题中，仪器（机器）不能租用。我们考虑一个反悔的过程——开始先把所有实验的贡献算上，之后利用最小割模型去掉最小代价使得方案合法。 在最小割模型中，我们把所有实验、仪器都分别看成一个点。其中，源点向所有实验连一条容
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摘要：考虑每个 # 的位置使用一块木板，之后进行一些调整。 对于每次调整，我们合并两块木板，使得合并完后木板依旧合法。 这个合并的过程考虑使用二分图的最大独立集。 具体的，我们把相邻的两个 # 之间连边，把边看做新图上的点。对于新图上的点 $u1$（假设它在原图上的对应边为 $l1$），它在新图上会和一个
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摘要：不妨设 $a\leq b\leq c$，则此时让集合 $A,B$ 联通的限制一定是最松的。于是我们的任务就是找出两个大小分别为 $a,b$ 的连通块。 需要知道的一点：假设我们找到了一个大于目标大小的连通块，构造时只需要一个一个地把叶子剥掉直至大小合法就行了。 先考虑原图是树的情况。由于 $b\le
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摘要：二分图的最大权完美匹配 不妨先看一些定义： 顶标 全称为“顶点标记值”。记左部点 $i$ 的顶标为 $lx_i$，右部点 $j$ 的顶标为 $ly_j$，那么要求顶标要满足 $lx_i+ly_j \ge w(i,j)$，其中 $w(i,j)$ 表示 $i$ 到 $j$ 那条边的边权。 相等子图 即原
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摘要：首先，棋子的颜色分黑和白，是一个标准的二分图形式。 其次，我们对操作进行观察，易得出：一个空位到过的位置之后不会再走了（考虑操作步骤的奇偶性以及棋子的颜色）。 于是我们大胆想象：移动棋子等价于移动空格，既然一个空格走了就不会再回到原来的位置，那么只需要把一个位置看成一个点（空格为初始位置），问题就可
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摘要：不难发现题面描述的比较特殊：给出了一个结论以及它的证明。 我们从中获得启发，对它进行了一个归纳总：一张 $n$ 个节点的完全图中，一定存在一条长度大于等于 $n-1$ 单调上升路径。 考虑把边划分成 $\frac{n}{2}$ 个小组之后（组内边不想交），我们可以对于同个中的边赋连续区间的值，这样就
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摘要：分两部分考虑，第一部分是如何用最少的边使得每个点的度数、图的总边数都变成偶数；第二部分是如何进行具体的构造。 其中第一部分的构造又可以考虑先满足每个点的度数为偶数，再满足总边数为偶数。 满足每个点的度数为偶数这点比较好做：可以每次从度数为奇数的点中任选两个，在它们之间连一条边。 由于于度数为奇数的点
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摘要：我们利用 $\text{kruskal}$ 的贪心思想去做这道题。 先考虑“一定不可能在任何 $\text{MST}$ 上”的情况。钦定用 $\text{kruskal}$ 形成的 $\text{MST}$ 为 $T$、当前考虑的边为 $e$、以及 $T$ 上在加入 $e$ 后与 $e$ 形成的简单
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摘要：定义 回文自动机（回文树），一种有限状态自动机，一种可以存储一个串中所有回文子串的高效数据结构。可以简单高效地解决众多与字符串回文相关的问题。 记号与约定 下文中，$s$ 是一个长为 $n$ 字符串，$s'$ 为 $s$ 的倒串（翻转后的串），$s[l,r]$ 是 $s$ 的一个子串（下标从 $1$
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摘要：考虑利用 $\text{KMP}$ 辅助进行贪心。 先预处理出 $t$ 所有前缀的 $\text{border}$，也就是熟知的 $next$ 数组。然后在 $s$ 上做一个贪心的匹配——假若 $s$ 剩余的字符中还存在能和 $t$ 中匹配的字符，那必定优先选它；否则之后只有一种可能，就是一直取同样
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摘要：我们对数据进行观察/分析归纳，易得出要么 $k\leq 2$，要么无解。 采用构造法证明： 先排除无解的情况：若 $s$ 为偶回文，那么所有字符相等必定无解；若为奇回文，则除去中心字符以外的所有字符相等时无解。 对于剩下的情况，从前往后找到第一个与 $s_1$ 不同的字符（下标从 $1$ 开始），设
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