回文自动机（PAM）

定义

回文自动机（回文树），一种有限状态自动机，一种可以存储一个串中所有回文子串的高效数据结构。可以简单高效地解决众多与字符串回文相关的问题。

记号与约定

下文中，$s$ 是一个长为 $n$ 字符串，$s'$ 为 $s$ 的倒串（翻转后的串），$s[l,r]$ 是 $s$ 的一个子串（下标从 $1$ 开始）。

特殊情况见上下文说明。

一些性质

引理 $1.1$：一个回文串 $s$ 的 $\text{border}$ 必定是一个回文串。

引理 $1.2$：一个回文串 $s$ 的所有回文后缀必定是它的 $\text{border}$。

证明 $1.1$：

• 钦定一个 $s$ 的 $\text{border}$ 为 $s[n-i+1,n]$。

• 根据 $\text{border}$ 的性质，$s[1,i]=s[n-i+1,n]$；根据 $s$ 作为回文串的性质，$s[1,i]=s'[n-i+1]$。故而有 $s[n-i+1,n]=s'[n-i+1,n]$，而它恰好是回文串的定义。

证明 $1.2$：可以把引理 $1.1$ 的证明方法倒回去。

引理 $2$：对于一个字符串 $s$，它本质不同的回文子串一定是以某个点结尾的、最长的那个回文串。

证明 $2$：考虑反证。假设本质不同的回文子串是以某个点结尾的，但不是最长的回文串，那么根据引理 $1.2$ 以及 $\text{border}$ 的性质（$s$ 的 $\text{border}$ 的 $\text{border}$ 也是 $s$ 的 $\text{border}$），它必定已被统计过了。

引理 $3$：$s$ 的本质不同的子串个数不超过 $n$ 个。

证明 $3$：根据引理 $2$ 可得。

结构

$\text{PAM}$ 和 $\text{ACAM}$ 类似，它可以用树的形式展现出来：$\text{Trie}$ 树或 $\text{fail}$ 树。

不难注意到按照传统的 $\text{Trie}$ 树，已经难以去方便地处理回文串了。

故而考虑 $\text{Trie}$ 树的变形：

• 初始时有两个节点，它们所代表的串一个长度为 $0$（用于处理偶回文），一个长度为 $-1$（用于处理奇回文）。

• 对于一个节点连出的边权 $c$ 的边，就等价于在当前节点所代表的串两边各加上一个字符 $c$。

  $\text{fail}$ 树自然也跟着有了变化：

• 对于一个节点的 $\text{fail}$ 指针，它指向的是当前节点的最长回文后缀。

• 其中为了后续处理方便，我们让串长为 $0$ 的节点 $\text{fail}$ 指向串长为 $-1$ 的节点。

构建方式

我们采用地构建方法是逐个插入。逐个插入一般有两种：首端/末端插入。

考虑末端插入字符 $c$：

1. 以 $i-1$ 结尾的最长回文子串为开始，一直跳 $\text{fail}$ 指针，直到跳到一个合法的节点或者不能再跳了。

   “合法”的定义：一个节点是合法的当且仅当它所代表的串是合法的，一个串是合法的当且仅当位于它左边的字符是 $c$，这样就可以形成一个以新插入字符结尾的回文串。

2. 判断当前跳到的节点是否是合法的节点。若是合法的节点，那就插入一个新节点，同时维护一下它的信息。不是就不插入。

   • Note：会发现，对于为什么要像介绍 $\text{PAM}$ 结构时提到的那样：“让串长为 $0$ 的节点 $\text{fail}$ 指向串长为 $-1$ 的节点”，现在已经有了答案。

     假设跳 $\text{fail}$ 指针时，一直跳都没有找到合法的节点，且最后落到了串长为 $0$ 的那个节点上。若那个串长为 $0$ 的节点也是不合法的，这种情况显然是没法插入一个新节点，而实际上它应该插入一个长为 $1$ 的串。

再考虑首端插入。根据引理 $1.2$，字符串的最长回文后缀等价于字符串的最长回文前缀，故而首端插入和末端插入如出一辙。

代码实现

#include <bits/stdc++.h>
#define L(i, a, b) for(int i = a; i <= b; i++)
#define R(i, a, b) for(int i = a; i >= b; i--)
using namespace std;
const int N = 5e5 + 10;
int n, ans; char s[N];
struct PAM{
    int n, tot, lst, s[N];
    struct P{int t, len, f, c[26];} a[N];
    PAM(){tot = 1, s[0] = 26, a[0].f = 1, a[1].len = -1;}
    int getfail(int x){
        while(s[n - a[x].len - 1] != s[n]) x = a[x].f;
        return x;
    }
    void ins(int d){
        s[++n] = d; int p = getfail(lst);
        if(!a[p].c[d]){
            a[++tot].len = a[p].len + 2;
            a[tot].f = a[getfail(a[p].f)].c[d];
            a[tot].t = a[a[tot].f].t + 1;
            a[p].c[d] = tot;
        }
        lst = a[p].c[d];
    }
} p;
int main(){
    scanf("%s", s + 1), n = strlen(s + 1);
    L(i, 1, n){
        p.ins((s[i] - 97 + ans) % 26);
        ans = p.a[p.lst].t, printf("%d ", ans);
    }
    return 0;
}