分数规划

分数规划

分数规划是一个解决如下类似题目的技巧：

给定 \(a_1,a_2,...,a_n\)，\(b_1,b_2,...,b_n\)，求 \(\displaystyle \frac{\sum_{i=1}^n a_ix_i}{\sum_{i=1}^n b_ix_i}\) 的最大/小值，其中 \(x_i \in [0,1]\)。也就是说在 \(n\) 个物品里选一些，求权值 \(a\) 的和与权值 \(b\) 的和相除的最大/小值。

这类问题常用二分解决。

钦定一个二分值 \(mid\)，我们考虑转化这个柿子：

\[\begin{aligned} \displaystyle \frac{\sum_{i=1}^n a_ix_i}{\sum_{i=1}^n b_ix_i} &> mid \\ \sum_{i=1}^n a_ix_i &> mid \times \sum_{i=1}^n b_ix_i \\ \sum_{i=1}^n (a_ix_i-mid \times b_ix_i) &> 0 \\ \sum_{i=1}^n x_i \times (a_i-mid \times b_i) &> 0 \end{aligned} \]

只需求左式最大值即可。

板子很简单，所以经常会给出一些需要满足的额外条件，如分母必须大于某个数之类。

分数规划主要作为一种 trick 出现在竞赛中，经常与其他算法相结合（主要是二分，check 时根据不同情景利用不同算法找 \(\displaystyle \sum_{i=1}^n x_i \times (a_i-mid \times b_i)\) 极值）。

P4377 [USACO18OPEN] Talent Show G

求 \(\displaystyle \frac{\sum_{i=1}^n t_ix_i}{\sum_{i=1}^n w_ix_i}\) 的最大值，要求 \(\displaystyle \sum_{i=1}^n w_ix_i \ge W\)。

这道题给分母加上了一个最小值的限制。此时在 check 函数中，我们需要求满足 \(\displaystyle \sum_{i=1}^n w_ix_i \ge W\)，\(\displaystyle \sum_{i=1}^n x_i \times (t_i-mid \times w_i)\) 的最大值。

观察发现，我们可以将其转化成一个 01 背包问题，其中 \(t_i-mid \times w_i\) 为权值，\(w_i\) 为重量。这道题就可以做完了。

需要注意的是当 \(\displaystyle \sum_{i=1}^n w_ix_i \ge W\) 时可直接将其视为 \(W\)。（原因很简单自己想）

poj2728 Desert King

平面直角坐标系上有 \(n\) 个点，第 \(i\) 个点的坐标为 \((x_i,y_i)\)，并且每个点都有一个权值 \(z_i\)，每个点之间互相连边，令 \(a\) 为边长，\(b\) 为两点的 \(z\) 的差的绝对值，求一个生成树（边集为 \(E\)）使 \(\displaystyle \frac{\sum_{e \in E} a_e}{\sum_{e \in E} b_e}\) 最小。

按照分数规划的套路，每次 check，我们令每条边的边权为 \(a-mid \times b\)，然后跑最小生成树即可。

注意到图为完全图，可使用 Prim 算法，效率更快。

P3199 [HNOI2009] 最小圈

有一个图，令 \(w\) 为边权，在图上找到一个环（边集为 \(E\)，长度为 \(k\)）使 \(\displaystyle\frac{\sum_{e \in E} w_e}k\) 最小。

令每条边权值为 \(w_e-mid\)，由于要看最小值是否小于 \(0\)，我们只需要判断是否能在当前图上找到一个负环即可。

SPFA 最有用的一集（bushi