图论建模

差分约束

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现在有一个有 \(n\) 个未知数， \(m\) 个不等式的不等式组：

\[\left\{ \begin{matrix} x_{a_1}-x_{b_1} \le w_1 \\ x_{a_2}-x_{b_2} \le w_2 \\ \vdots \\ x_{a_m}-x_{b_m} \le w_m \\ \end{matrix} \right. \]

找到一组满足这个不等式组的解。

思路：

对于一个不等式 \(x_{a_i}-x_{b_i} \le w_i\)，把 \(x_{b_i}\) 移到右边得 \(x_{a_i} \le x_{b_i}+w_i\)，你会发现这个和最短路的式子很像。

具体而言，最短路的松弛操作为对于每一条边 \((u,v,w)\)，在 \(dis_v \ge dis_u+w\) 时我们会进行一次更新，则最终都对于每一条边会有 \(dis_v \le dis_u+w\)，发现这两个式子是类似的，那么我们考虑对于每个不等式，连一条 \((b_i,a_i,w_i)\) 的边跑最短路即可。

由于图不一定是连通图且可能有负环，我们建一个超级源点并跑 Bellman-Ford 或 SPFA，如果有负环则输出无解。

扩展：

严格小于：如果是整数域则转化为 \(x_{a_i} \le x_{b_i} +w_i-1\)，如果是实数域则转化为 \(x_{a_i} \le x_{b_i} +w_i-eps\)。

等于：拆成 \(x_{a_i}-x_{b_i} \le w_i\) 和 \(x_{a_i}-x_{b_i} \ge w_i\) 即可。

同余最短路

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给定正整数 \(x,y,z\)，求集合 \(\{ax+by+cz \mid a,b,c \in \mathbb N,ax+by+cz \le h\}\) 的大小。

设 \(d_i(i<x)\) 表示使得 \(by+cz \equiv i \pmod x\) 的最小的 \(by+cz\)，其中 \(b,c\) 为正整数。则答案为 \(\displaystyle \sum_{i=0}^{x-1} [H \ge d_i] \frac{H-d_i}{x}+1\)。

显然 \(d_0=0\)。考虑 \(d_i\) 可以通过 \(+y,+z\) 扩展到 \(d_{(i+y) \bmod x}\) 和 \(d_{(i+z) \bmod x}\)，那么我对于每个能扩展到我当前的 \(i\) 的所有值取最小，则对于 \(d_i\) 有 \(d_{(i+y) \bmod x} \le d_i+y,d_{(i+z) \bmod x} \le d_i+z\)。

发现这个 \(d\) 很像最短路的 \(dis\)，考虑建完边后以 \(0\) 为源点跑最短路就可以得到所有的 \(d_i\)，然后算答案即可。