*题解：CF1679F Formalism for Formalism

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解析

要求等价类数目，那就给每个等价类找一个代表元，问题变为求代表元数目，不妨令字典序最小的那个为一个等价类的代表元。

考虑 DP，设 \(f_{i,j}\) 表示考虑了前 \(i\) 位，第 \(i\) 位为 \(j\)，的代表元数目，枚举下一位的数 \(k\) 进行转移，我们只应该统计不会产生交换的方案数，其中不会产生交换即不存在数对 \((j,k)\) 或 \(j \le k\)，只有这些方案才合法。

然而这样还是不行，因为可能出现连续的交换导致枚举的下一位 \(k\) 可以跑到更前面的 \(j'\) 的前面，其中 \(j' > k\)，这样做的字典序最小，但若此时有 \(j \le k\)，我们就会认为不会产生交换。

故更改状态，我们想要知道有哪些下一位的取值是合法的，故设 \(f_{i,S}\) 表示考虑了前 \(i\) 位，下一位可选集合为 \(S\) 时的方案数。若下一位选了 \(x\)，那么对于 \(y\)，其应当被加进新集合 \(S'\) 里的充要条件是：不存在数对 \((x,y)\)，或者 \(y \ge x\) 且 \(y\in S\)。要求 \(y \in S\) 就是为了防止连续交换的情况。

预处理每个 \(S\) 能转移到的 \(S'\)，总时间复杂度 \(O(nV2^V)\)。

总结

遇到等价类问题尝试寻找代表元。

代码

/*
*/
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = (1 << 10) + 5,M = 5e4 + 5,mod = 998244353;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int> pii;
vector<int> ns[N];
int g[15][15],f[M][N];
int main(){
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0);
//	freopen("fa.in","r",stdin);
//	freopen("fa.out","w",stdout);
	int n;
	cin>>n;
	int m;
	cin>>m;
	for(int i=1;i<=m;i++){
		int u,v;
		cin>>u>>v;
		g[u][v] = g[v][u] = true;
	} 
	for(int i=0;i<(1 << 10);i++){
		for(int x=0;x<=9;x++){
			if(!(i & (1 << x))) continue;
			int j = 0;
			for(int y=0;y<=9;y++){
				if(!g[x][y] || (y >= x && (i & (1 << y)))){
					j |= 1 << y;
				}
			}
			ns[i].push_back(j);
		}
	}
	f[0][(1 << 10) - 1] = 1;
	for(int i=0;i<n;i++){
		for(int s=0;s<(1 << 10);s++)if(f[i][s]){
			for(int ss : ns[s]){
				f[i + 1][ss] = (f[i + 1][ss] + f[i][s]) % mod;
			}
		}
	}
	int res = 0;
	for(int s=0;s<(1 << 10);s++){
		res = (res + f[n][s]) % mod;
	}
	cout<<res;
	return 0;
}