*题解：CF115E Linear Kingdom Races

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解析

对比赛排序然后 DP 并不好做，考虑对道路设计状态。

设 \(f_{i}\) 表示考虑了前 \(i\) 条道路的最大利润。那么有：

\(f_{i} = \max(f_{i - 1},\max_{j = 0}^{i - 1} (f_{j} + g_{j + 1,i} - h_{j + 1,i}))\)

其中 \(g_{i,j}\) 表示修复了从 \(i\) 到 \(j\) 的道路后，可以进行的比赛的收益和。\(h_{i,j}\) 表示修复从 \(i\) 到 \(j\) 的道路的代价和。

考虑如何维护 \(\max_{j = 0}^{i - 1} (f_{j} + g_{j + 1,i} - h_{j + 1,i})\)。记 \(\max\) 里面那部分为 \(x_j\)。每当新加进来一条道路 \(i\) 时，对于以 \(i\) 为右端点的比赛 \(k\)，对于 \(j\in [0,lp_k)\)，其变化为：\(x_j \leftarrow x_j + p_{k} - h_{i,i}\)；对于其余 \(j\)，变化为 \(x_j \leftarrow x_j-h_{i,i}\)。

这样问题就变为区间加，区间求 \(\max\)。线段树维护即可。

时间复杂度 \(O(n\log n)\)。

代码

/*
*/
#include <bits/stdc++.h>
#define eps 0.0000000001
#define ls(x) ((x) << 1)
#define rs(x) (((x) << 1) | 1) 
#define mid ((l + r) >> 1)
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned ui;
typedef pair<ll, ll> pii;
const int N = 200000 + 5, M = 20, P = 450, mod = 1e9 + 7, mod2 = 1e9 + 7, b1 = 131;
int h[N];
ll f[N];
ll mx[N << 2],tag[N << 2];
void push_up(int p){
	mx[p] = max(mx[ls(p)],mx[rs(p)]);
}
void add_tag(int p,ll x){
	tag[p] += x;
	mx[p] += x;
}
void push_down(int p){
	if(!tag[p]) return;
	add_tag(ls(p),tag[p]),add_tag(rs(p),tag[p]);
	tag[p] = 0;
}
void add(int p,int l,int r,int L,int R,ll x){
	if(l > R || r < L) return;
	if(l >= L && r <= R){
		add_tag(p,x);
		return;
	}
	push_down(p);
	add(ls(p),l,mid,L,R,x),add(rs(p),mid + 1,r,L,R,x);
	push_up(p);
}
ll ask(int p,int l,int r,int L,int R){
	if(l > R || r < L) return -9e18;
	if(l >= L && r <= R){
		return mx[p];
	}
	push_down(p);
	return max(ask(ls(p),l,mid,L,R),ask(rs(p),mid + 1,r,L,R));
}
signed main(){
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0), cout.tie(0);
//	freopen("in.txt","r",stdin);
//	freopen("out.txt","w",stdout);
	int n,m;
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cin>>h[i];
	}
	vector<pii> v[N];
	for(int i=1;i<=m;i++){
		int l,r,p;
		cin>>l>>r>>p;
		v[r].push_back({l,p});
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		add(1,1,n + 1,1,i,-h[i]);
		for(int j=0;j<v[i].size();j++){
			int l = v[i][j].first,p = v[i][j].second;
			add(1,1,n + 1,1,l,p);
		}
		ll x = ask(1,1,n + 1,1,i);
		f[i] = max(f[i - 1],x);
		add(1,1,n + 1,i + 1,i + 1,f[i]);
	}
	cout<<f[n];
    return 0;
    
}