题解：P8973 『GROI-R1』 继续深潜，为了同一个梦想

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解析

点分治做法。

假设当前以 \(x\) 为根，考虑对以 \(x\) 为 LCA 的路径上的点计算贡献。对于一个点 \(y\)，经过它且以 \(x\) 为 LCA 的路径大致为这种构成：

如图所示，有固定不变的红色段与扩展到 \(y\) 子树内的蓝色段和在 \(x\) 的不包含 \(y\) 的子树内的绿色段。

算贡献，钦定 \(x,y\) 在点集内。对于确定的红色段，考虑 \(x,y\) 之外的中间结点是否在点集内，其贡献为 \(2 ^ {l - 2}\)。对于蓝色段，需要求 \(y\) 子树内的处在一条链上的点集个数（不含 \(y\)）。对于绿色段，需要求 \(x\) 的 子树内不包含 \(y\) 的儿子 的子树内处在同一链上的点集个数。

设 \(f_i\) 表示以 \(i\) 为根的子树内处在同一链上的非空点集个数,那么有 \(f_i = (\sum _{j\in son_i} 2f_j) + 1\)。可以理解为除了继承儿子的子集以外，还将点 \(i\) 加入到所有来自于儿子的点集，并加上点集里只有点 \(i\) 的情况。

时间复杂度 \(O(n\log n)\)。

代码

#include <bits/stdc++.h>
#define eps 0.0000000001
#define ls(x) ((x) << 1)
#define rs(x) (((x) << 1) | 1)
#define mid ((l + r) >> 1)
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned ui;
typedef pair<int,ll> pii;
const int N = 5e5 + 5,M = 1e5 + 5,P = 2000000,mod = 1e9 + 7,mod2 = 1e9 + 7,b1 = 131,b2 = 13331; 
int n;
vector<int> t[N];
int siz[N],mx[N];
int all,rt,cnt[N],ans[N],vis[N],dep[N],mi[N];
ll res;
void get(int x,int fa){
	siz[x] = 1;
	for(int nx : t[x])if(!vis[nx] && nx != fa){
		get(nx,x);
		siz[x] += siz[nx];
	}
}
void find(int x,int fa){
	mx[x] = all - siz[x];
	for(int nx : t[x])if(!vis[nx] && nx != fa){
		find(nx,x);
		mx[x] = max(mx[x],siz[nx]);
	}
	if(mx[x] < mx[rt]){
		rt = x;
	}
}
void dfs(int x,int fa){
	cnt[x] = 1; 
	for(int nx : t[x])if(!vis[nx] && nx != fa){
		dfs(nx,x);
		cnt[x] = (cnt[x] + 2ll * cnt[nx]) % mod;
	}
}
int sum;
void dfs2(int x,int fa,int y){
	dep[x] = dep[fa] + 1; 
	int snx = 1;
	for(int nx : t[x])if(!vis[nx] && nx != fa){
		dfs2(nx,x,y);
		ans[x] = (ans[x] + 1ll * cnt[nx] * mi[max(0,dep[x] - 2)]) % mod;//蓝 * 红 
		snx = (snx + cnt[nx]) % mod;
	}
	ans[x] = (1ll * ans[x] + mi[max(0,dep[x] - 2)]) % mod;//红
	ans[x] = (ans[x] + 1ll * snx * mi[dep[x] - 1] % mod * ((sum + mod - cnt[y]) % mod)) % mod;//蓝 * 红 * 绿 
}
void sol(int x){
	rt = 0;
	get(x,-1);
	all = siz[x];
	find(x,-1);
	dfs(rt,0);
	sum = 0;
	int mul = 0;
	for(int nx : t[rt])if(!vis[nx]){
		mul = 1ll * (sum + 1) * cnt[nx] % mod;
		ans[rt] = (1ll * ans[rt] + mul) % mod;//特判根 
		sum = (1ll * sum + cnt[nx]) % mod;
	}
	dep[rt] = 1;
	for(int nx : t[rt])if(!vis[nx]){
		dfs2(nx,rt,nx);
	}
	vis[rt] = true;
	for(int nx : t[rt])if(!vis[nx]){
		sol(nx);
	}
}
signed main(){
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0),cout.tie(0);
//	freopen("in.txt","r",stdin);
//	freopen("out1.txt","w",stdout);
	mx[0] = 2e9;
	mi[0] = 1;
	for(int i=1;i<N;i++){
		mi[i] = mi[i - 1] * 2ll % mod;
	}
	cin>>n;
	for(int i=1;i<n;i++){
		int u,v;
		cin>>u>>v;
		t[u].push_back(v);
		t[v].push_back(u);
	}
	sol(1);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		res ^= 1ll * ans[i] * i;
	}
	cout<<res;
	return 0;
}