*题解：CF1979C Earning on Bets

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解析

由题意得，约束条件即为 \(\forall 1\le i\le n, sum < k_i a_i\)，其中 \(sum=\sum_{i=1}^n a_i\)。把 \(k\) 除过去，变为 \(\frac{sum}{k_i}<a_i\)，求和变为 \(\sum_{i=1}^n \frac{sum}{k_i}<sum\)。两边同除 \(sum\) 变为 \(\sum_{i=1}^n \frac{1}{k_i}<1\)，此为原命题的必要条件，不满足必定无解。

考虑如果满足该条件如何构造出一组解。令 \(a_i=\frac{1}{k_i}\)，则 \(sum = \sum_{i=1}^n \frac{1}{k_i} < 1 = k_ia_i\)，充分性得证。为了使 \(a_i\) 变为整数，我们还需要将每个 \(a_i\) 乘上所有 \(k_i\) 的最小公倍数。

时间复杂度 \(O(n)\)。

代码

#include <bits/stdc++.h>
#define eps 0.0000000001
#define ls(x) ((x) << 1)
#define rs(x) (((x) << 1) | 1)
//#define mid ((l + r) >> 1)
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned ui;
typedef pair<int,ll> pii;
const int N = 2e5 + 5,M = 10000 + 5,P = 2000000,mod = 1e9 + 7,mod2 = 1e9 + 7,b1 = 131,b2 = 13331; 
int k[N];
signed main(){
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0),cout.tie(0);
//	freopen("in.txt","r",stdin);
//	freopen("out1.txt","w",stdout);
	int T;
	cin>>T;
	while(T--){
		int n;
		cin>>n;
		int l = 1;
		double sum = 0; 
		for(int i=1;i<=n;i++){
			cin>>k[i];
			l = l / __gcd(k[i],l) * k[i];	
			sum += 1.0 / k[i];
		}
		if(sum > 1 || fabs(sum - 1) < eps){
			cout<<-1<<'\n';
			continue;
		}
		for(int i=1;i<=n;i++){
			cout<<l / k[i]<<" ";
		}
		cout<<'\n';
	}
	return 0;
}