*题解：[ABC461F] Total Product is N

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解析

首先 \(A\) 中的数必定是 \(N\) 的约数，通过暴搜可以求出一个小于等于 \(10^{10}\) 的数最多只会有 \(2304\) 个约数。

由于题目要求 \(A\) 中的数互不相同，而 \(13!<10^{10}<14!\)，所以 \(A\) 中至多有 \(13\) 个数。

于是可以考虑 DP。设 \(f_{i,j,k}\) 表示考虑了前 \(i\) 个约数，选了 \(j\) 个数，乘积为第 \(k\) 个约数的方案数；类似地，设 \(g_{i,j,k}\) 表示这些方案的 \(A\) 中元素和。如果设 \(d_i\) 表示 \(N\) 的第 \(i\) 个约数，那么：

若 \(d_i \mid d_k\)，则有选/不选第 \(i\) 个约数，这两种情况，若选，则有 \(j\) 个位置可以插入：

\[f_{i,j,k} = f_{i - 1,j,k} + f_{i - 1,j - 1,get_{i,k}} \cdot j \\ g_{i,j,k} = g_{i - 1,j,k} + g_{i - 1,j - 1,get_{i,k}} \cdot j+ f_{i - 1,j - 1,get_{i,k}} \cdot d_i \cdot j \]

其中 \(get_{i,k}\) 表示 \(\frac{d_k}{d_i}\) 等于第几个约数。

否则，无法选取 \(d_i\)：

\[f_{i,j,k} = f_{i - 1,j,k} \\ g_{i,j,k} = g_{i - 1,j,k} \]

若令 \(d(N)\) 表示 \(N\) 的约数个数，则时间复杂度为 \(O(d(N) ^ 2)\)。

代码

/*
*/
#include <bits/stdc++.h>
#define eps 0.0000000001
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int> pii;
const int N = 3000 + 5,M = 14,P = 2000000,mod = 998244353;
int f[N][M][N],g[N][M][N];
int gt[N][N];
signed main(){
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0),cout.tie(0);
//	freopen("in.txt","r",stdin);
//	freopen("out.txt","w",stdout);
	memset(gt,-1,sizeof(gt));
	ll n;
	cin>>n;
	vector<ll> d;
	d.push_back(-1);
	for(int i=1;1ll * i * i<=n;i++){
		if(n % i == 0){
			d.push_back(i);
			if(1ll * i * i != n){
				d.push_back(n / i);
			}
		}
	}
	sort(d.begin(),d.end());
	for(int i=1;i<d.size();i++){
		for(int j=i;j<d.size();j++){
			if(d[j] % d[i] == 0){
				gt[i][j] = lower_bound(d.begin(),d.end(),d[j] / d[i]) - d.begin();
			}
		}
	}
	f[0][0][1] = 1;
	for(int i=1;i<d.size();i++){
		for(int j=0;j<M;j++){
			for(int k=1;k<d.size();k++){
				f[i][j][k] = f[i - 1][j][k];
				g[i][j][k] = g[i - 1][j][k];
				if(d[k] % d[i] == 0 && j){
					f[i][j][k] = (1ll * f[i - 1][j - 1][gt[i][k]] * j % mod + f[i][j][k]) % mod;
					g[i][j][k] = ((1ll * f[i - 1][j - 1][gt[i][k]] * j % mod * (d[i] % mod) % mod + 1ll * g[i - 1][j - 1][gt[i][k]] * j % mod) % mod + g[i][j][k]) % mod;
				}			
			}
		}
	}
	int res = 0;
	for(int i=0;i<M;i++){
		res = (res + g[d.size() - 1][i][d.size() - 1]) % mod;
	}
	cout<<res;
	return 0;
}