再谈线段树合并：复杂度

先前在介绍线段树合并的这篇文章中，有提到：

记 \(n\) 为元素个数，\(V\) 为值域，合并过程中总共会合并（或者说插入） \(O(n)\) 个点，单次操作复杂度为 \(O(\log V)\)，故这样操作合并若干个线段树的总复杂度为 \(O(n \log V)\)。

然而现在我发现这段话连我自己看完后都满脸问号，所以要来写一段至少让自己能完全理解的复杂度分析（虽然请教了 Deepseek）。

设 \(n\) 为元素个数，\(V\) 为值域，那么一个元素贡献 \(O(\log V)\) 个结点，初始时所有线段树的点数和为 \(O(n\log V)\)。由于合并时我们只会在两棵线段树都有的结点上继续往下递归，且对于这类重叠的结点，合二为一之后可视为删去了一个点，所以最终至多遍历/删去 \(O(n\log V)\) 个点，复杂度自然是 \(O(n\log V)\)。

空间复杂度可以类似地进行分析，合并过程中不会新开结点，于是最终线段树所拥有的结点为所有小线段树结点的并，个数即为 \(O(n\log V)\)。