*题解：ABC444F Half and Median

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补题调了四个小时，力竭了。

解析

考虑二分。

考虑如何 check。设当前要判断中位数是否能 \(\ge x\)，那么最终应该至少有 \(\frac{N+M+1}{2}\) 根棍子的长度 \(\ge x\)，后文中称这些长度 \(\ge x\) 的棍子为长棍子。于是我们希望尽可能拆分长度大于等于 \(2x\) 的棍子，因为这样可以产生另一根长棍子。除此之外，剩下的操作次数可以用来拆分长度为 \(2x-1\) 或介于 \([2,x-1]\) 之间的棍子，此时不会对长棍子数目产生影响；也可以用来拆分长度介于 \([x,2x-2]\) 之间的棍子，但是由于每拆一个会少一根长棍子，所以要保证拆分之后仍然有 \(\frac{N+M+1}{2}\) 根长棍子。

最终如果拆分次数没有用完或者长棍子数目少于 \(\frac{N+M+1}{2}\)，则说明中位数 \(< x\)，反之说明中位数 \(\ge x\)。

考虑如何实现拆分，一个思路是将所有可能拆出的长度列出来然后从大到小拆。事实上，拆解后不同长度的个数是可以接受的。

对于一个偶数，会拆成两个相同的数，贡献一个长度。

对于一个奇数，会拆成一个奇数一个偶数，若大的那个是偶数，设为 \(2x\)，则小的那个是 \(2x - 1\)，下一步拆分分别会分为两个 \(x\) 和 一个 \(x\) 一个 \(x - 1\)，若大的那个是奇数同理。也就是说这种奇偶组合每拆分一次也只贡献两个长度。

于是总的不同长度个数就是 \(O(N \log \max A)\) 的。考虑到全奇数的情况，我选择把数组开到 \(6 \times 10^6\)。

时间复杂度 \(O((N \log \max A)\log(N \log \max A) + N(\log \max A)^2)\)。

代码

注意 long long。

#include <bits/stdc++.h>
#define ls(p) ((p) << 1)
#define rs(p) (((p) << 1) | 1)
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int> pii;
const int N = 5e5 + 5,M = 6e6,mod = 998244353;
int a[N];
ll cnt[M];
int get(int x,vector<int> &v){
	int l = 0,r = v.size() - 1;
	while(l < r){
		int mid = l + r >> 1;
		if(v[mid] > x) l = mid + 1;
		else r = mid;
	}
	return l;
}
int main(){
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0);
//	freopen("in.txt","r",stdin);
//	freopen("out.txt","w",stdout);
	int T;
	cin>>T;
	while(T--){
		int n;
		ll m;
		cin>>n>>m;
		vector<int> v;
		v.push_back(1); 
		for(int i=1;i<=n;i++){
			cin>>a[i];
			int x = a[i];
			while(x >= 2){
				v.push_back(x);
				if(x & 1){
					if((x / 2) & 1){
						v.push_back(x / 2 + 1);
						x = x / 2;
					}else{
						v.push_back(x / 2);
						x = x / 2 + 1;
					}
				}else{
					x /= 2;
				}
			}
		}
		cerr<<v.size();
		sort(v.begin(),v.end());
		v.erase(unique(v.begin(),v.end()),v.end());
		reverse(v.begin(),v.end());
		sort(a + 1,a + n + 1,greater<int>());
		int l = 1,r = 1e9;
		while(l < r){		
			int mid = l + r + 1 >> 1;
			ll t = m,sum = 0; 
			for(int i=0;i<v.size();i++){
				cnt[i] = 0;
			}
			int x = 0;
			for(int i=1;i<=n;i++){
				while(v[x] > a[i]) x++;
				cnt[x]++;
				sum += v[x] >= mid;
			}
			int pos1 = 0,pos2 = 0; 
			for(int i=0;i<v.size() - 1 && t;i++){
				ll c = min(t,cnt[i]);
				if(v[i] >= mid && (v[i] + 1) / 2 < mid){
					ll x = max(0ll,sum - (n + m + 1) / 2);
					c = min(c,x);
				}
				cnt[i] -= c;
				if(v[i] >= mid) sum -= c;
				t -= c;
				while(v[pos1] > v[i] / 2) pos1++;
				while(v[pos2] > (v[i] + 1) / 2) pos2++;	 
				cnt[pos1] += c;
				cnt[pos2] += c;
				if(v[pos1] >= mid) sum += c;
				if(v[pos2] >= mid) sum += c;
			}
			if(t){
				r = mid - 1;
				continue;
			}
			if(sum >= (n + m + 1) / 2) l = mid;
			else r = mid - 1;
		} 
		cout<<l<<'\n';
	}
	return 0;
}