*题解：P3960 [NOIP 2017 提高组] 列队

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解析

考虑 \(x = 1\) 怎么做，可以发现此时只有第 \(1\) 列和第 \(m\) 行会发生变动，将其拼起来可以视作一个数列，操作就是单点删除和结尾插入。怎么维护呢？不一定要平衡树，有一种用树状数组的做法：维护每个位置上的数的存在情况，1 / 0 表示这个位置上 有 / 没有 数。这样，要找第 \(k\) 个元素，就相当于找使得前缀和 \(\ge k\) 的最小下标 \(i\)，我们借助另一个数组 \(a\) 存储下标对应的元素，就可以求得元素值；删除操作变为置 \(0\)；加入操作变为置 1 的同时在数组中添加对应元素。

对于其余情况，我们需要进一步观察性质。\(n\cdot m\) 很大，我们不可能维护整个方阵，但是 \(q\) 次询问对应着 \(q\) 个元素，我们能否只维护因为询问而变动的元素呢？我们依旧遵循先前转化为 0/1 串的思想，考虑每一行的前 \(m - 1\) 个元素与最后一列（把最后一列单独摘出来方便处理，不然向前看齐后会导致对应不上之前的行）删除位于 \((x,y)\) 的元素就意味着在第 \(x\) 行中，第 \(y\) 个元素对应位置置 \(0\)，新增元素 \((x,m)\)，对应位置置 \(1\)，在第 \(m\) 列中，第 \(x\) 个元素对应位置置 \(0\)，新增元素 \((x,y)\)，对应位置置 1。

可以发现，最多新增元素数量总和不超过 \(2q\)，于是我们可以只维护新增元素。那么非新增元素如何处理？由于对于非新增元素而言，每行相对独立，其余行的操作影响不到这一行，所以可以把询问离线下来一行一行处理。

时间复杂度 \(O(q\log^2n)\)。

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int> pii;
const int N = 3e5 + 5,M = 500 * 500,mod = 998244353;
struct Q{
	int x,y,id;	
	friend bool operator < (Q a,Q b){
		return a.x != b.x ? a.x < b.x : a.id < b.id;
	}
}qu[N],q2[N];
int b[N * 3],cnt[N],cntq[N],pre[N];
vector<ll> npos[N];//用于存储下标对应元素
ll res[N];
void add(int x,int k){
	for(;x < N * 3;x += x & -x){
		b[x] += k;
	}
}
int ask(int x){
	int res = 0;
	for(;x;x -= x & -x){
		res += b[x];
	}
	return res;
}
int find(int x,int k){//查找第 i 行的第 k 个新增元素，第 n + 1 行是第 m 列
	int pr = ask(pre[x - 1]);
	int l = pre[x - 1] + 1,r = pre[x];
	while(l < r){
		int mid = l + r >> 1;
		if(ask(mid) - pr >= k) r = mid;
		else l = mid + 1;
	}
	return l - pre[x - 1];
}
int main(){
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0);
//	freopen("in.txt","r",stdin);
//	freopen("out.txt","w",stdout);
	int n,m,q;
	cin>>n>>m>>q;
	for(int i=1;i<=q;i++){
		cin>>qu[i].x>>qu[i].y;
		qu[i].id = i;
		q2[i] = qu[i];
	}
	sort(q2 + 1,q2 + q + 1);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cnt[i] = m - 1;//第 i 行中剩余非新增元素个数
	}	
	vector<int> v;
	for(int i=1;i<=m - 1;i++){
		add(i,1);
	}
	for(int i=1;i<=q;i++){
		int x = q2[i].x,y = q2[i].y,id = q2[i].id;
		if(y < m) cntq[x]++;//便于在树状数组中分配位置
		if(q2[i].x != q2[i - 1].x){
			for(int j : v){
				add(j,1);
			}
			v.clear();
		}
		if(y > cnt[x]) continue;	
		int l = 1,r = m - 1;
		while(l < r){
			int mid = l + r >> 1;
			if(ask(mid) >= y) r = mid;
			else l = mid + 1;
		}
		cnt[x]--;
		add(l,-1);
		v.push_back(l);
		res[id] = 1ll * (x - 1) * m + l;		
	}
	memset(b,0,sizeof(b));
	cntq[n + 1] = n + q;//每次询问必定导致在最后一列尾插，加上初始的 n 个
	for(int i=1;i<=n + 1;i++){
		pre[i] = pre[i - 1] + cntq[i];//第 i 行分配到的起始下标为 (pre[i - 1]，pre[i]]
		cnt[i] = m - 1;
	}	
	for(int i=1;i<=n;i++){
		add(pre[n] + i,1);
		npos[n + 1].push_back(1ll * i * m);
	}
	for(int i=1;i<=q;i++){
		int x = qu[i].x,y = qu[i].y,id = qu[i].id;
		if(y <= cnt[x]){	
			cnt[x]--;
			int t = find(n + 1,x);
			npos[x].push_back(npos[n + 1][t - 1]);
			npos[n + 1].push_back(res[id]);
			add(pre[x - 1] + npos[x].size(),1);
			add(pre[n] + t,-1);
			add(pre[n] + n + i,1); 
		}else if(y == m){
			int t = find(n + 1,x);
			npos[n + 1].push_back(npos[n + 1][t - 1]);
			add(pre[n] + t,-1);
			add(pre[n] + n + i,1);
			res[id] = npos[n + 1][t - 1];
		}else{
			int k = find(x,y - cnt[x]),t = find(n + 1,x);//要找的是第 x 行第 y 个元素，但是 vector 只存了新增的元素，所以要减去非新增元素个数
			npos[x].push_back(npos[n + 1][t - 1]);
			npos[n + 1].push_back(npos[x][k - 1]);
			add(pre[x - 1] + k,-1);
			add(pre[n] + t,-1);
			add(pre[x - 1] + npos[x].size(),1);
			add(pre[n] + n + i,1);
			res[id] = npos[x][k - 1];
		}
		cout<<res[id]<<'\n';
	}
	return 0;
}