题解——[ABC282F] Union of Two Sets

前言

在这里提供运用 ST 表思想但又略不同于 ST 表的构造方法，能够在 \(n=4000\) 时相比 ST 表少构造将近 \(4000\) 个区间。

解析

构造的思路是这样的：

设 \(len\) 为询问的区间的长度，从小到大考虑。

当 \(len=1\) 时，询问区间必定只能是相同的长度为一的区间的并，故对于所有 \(1 \le i\le n\)，必定需要构造一个 \([i,i]\) 的区间。

当 \(len=2\) 时，询问区间可以通过先前构造的长度为 \(1\) 的相邻两个区间取并得到。

当 \(len=3\) 时，无法通过现有的区间得到询问区间，故对于所有 \(1 \le i \le n-2\)，构造一个 \([i,i+2]\) 的区间。

当 \(4 \le len \le 6\) 时，可以发现询问区间可以通过两个长度为 \(3\) 的区间取并得到。

事实上，如果我们构造了一连串的一个长度为 \(i\) 的区间，那么对于所有 \(i \le len \le i \times2\)，询问区间都可以由两个长度为 \(i\) 的区间取并得到。

具体地，对于满足 \(i \le len \le i \times2\) 的一次询问 \(L,R\)，可以先选取一个以 \(L\) 为左端点，长度为 \(i\) 的区间，再选取一个以 \(R\) 为右端点（即以 \(L+len-i\) 为左端点），长度为 \(i\) 的区间，取并得到询问区间。

这样，我们就只需要从长度为 \(1\) 的区间开始构造，每次将长度乘 \(2\) 再加 \(1\)。

通过这种方法构造出来的区间，第 \(k\) 短的区间长度为 \(2^k-1\)，ST 表则是 \(2^{k-1}\)，并且，如果 \(n\) 不等于 \(2\) 的幂减 \(1\)，这种方法构造出来的不同区间长度的数量比 ST 表少 \(1\)，其余情况相等。

由此可见，当 \(n \not = 1\) 时，此方法构造出来的区间的数量总是比 ST 表少。

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 4e3 + 5;
vector<int> v[N];//v[i][j]表示是否构造出长度第 i 短，左端点位于 j 的区间，
int s[N],lth[N];//s[i]表示构造出来的第 1 至第 i 短的区间个数
			//lth[i]表示第 i 短的区间的长度
int main(){
	int n,cnt = 0;
	cin>>n;
	for(int len = 1;len <= n;len = len * 2 + 1){
		cnt++;
		lth[cnt] = len;
		for(int l = 1;l + len - 1 <= n;l++){
			v[cnt].push_back(l);//存的东西不重要，能判断有没有构造出这个区间即可
		}
		s[cnt] = s[cnt - 1] + v[cnt].size();
	}
	cout<<s[cnt]<<endl;
	for(int i=1;i<=cnt;i++){
		for(int j : v[i]){
			cout<<j<<' '<<j + lth[i] - 1<<endl;
		}
	}
	int q;
	cin>>q;
	while(q--){
		int l,r;
		cin>>l>>r;
		int len = r - l + 1;
		int t = upper_bound(lth,lth + cnt + 1,len) - lth - 1;
		cout<<s[t - 1] + l<<" "<<s[t - 1] + l + len - lth[t]<<endl;
	}
	return 0;
}