Delta 型并联机构工作空间绘制程序（MATLAB）

绘制 Delta 并联机器人 的三维工作空间。该程序基于运动学逆解，通过扫描末端位置并判断是否满足关节角度约束，得到可达点的集合。

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1. Delta 机构参数定义

Delta 机器人的几何参数如下（单位统一为 mm）：

参数	符号	说明
\(R_b\)	Rb	基座平台半径（铰链中心到中心轴的距离）
\(R_p\)	Rp	动平台半径
\(L_a\)	La	主动臂长度（从基座铰链到肘部）
\(L_b\)	Lb	从动臂长度（肘部到动平台铰链）
\(\theta_{min}, \theta_{max}\)	theta_min, theta_max	主动臂关节角范围（弧度）

Delta 的三个支链呈 120° 对称分布，基座铰链和动平台铰链均位于同一圆周上。

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2. 运动学逆解函数

给定末端位置 \((x,y,z)\)，求解三个主动臂关节角 \(\theta_1, \theta_2, \theta_3\)。若解存在且角度在允许范围内，则该点为可达点。

function [theta, feasible] = delta_inverse_kinematics(x, y, z, Rb, Rp, La, Lb)
% DELTA_INVERSE_KINEMATICS  Delta机器人逆运动学
%   输入：末端位置 (x,y,z)，机构参数
%   输出：theta = [theta1, theta2, theta3] (弧度)
%         feasible = true 若解有效且在角度范围内

    % 三个支链的方位角（基座铰链位置）
    phi = [0, 2*pi/3, 4*pi/3];  % 相对于基座坐标系

    % 基座铰链中心坐标（在基座坐标系中）
    base = [Rb*cos(phi); Rb*sin(phi); zeros(1,3)];  % 3x3矩阵

    % 动平台铰链中心坐标（在动平台坐标系中，末端位置已知）
    % 动平台铰链相对于末端的位置偏移
    platform_offset = [Rp*cos(phi); Rp*sin(phi); zeros(1,3)];

    % 末端在世界坐标系中的位置
    P = [x; y; z];

    % 动平台铰链在世界坐标系中的位置
    P_platform = P + platform_offset;  % 3x3矩阵

    theta = zeros(1,3);
    feasible = true;

    for i = 1:3
        % 从基座铰链指向动平台铰链的向量
        vec = P_platform(:,i) - base(:,i);
        % 投影到垂直于主动臂旋转轴的平面（对于Delta，主动臂在垂直平面内摆动）
        % 这里假设主动臂旋转轴平行于基座平面，且垂直于径向线
        % 详细推导略，直接使用标准Delta逆解公式
        % 参考：https://en.wikipedia.org/wiki/Delta_robot

        % 标准解法：将问题转化为平面三角形
        % 基座铰链到动平台铰链的水平距离
        r = sqrt(vec(1)^2 + vec(2)^2);
        % 垂直高度差
        z_diff = vec(3);

        % 余弦定理求解肘部关节角（辅助角）
        % 三角形边长：La, Lb, sqrt(r^2 + z_diff^2)
        D = (r^2 + z_diff^2 - La^2 - Lb^2) / (2*La*Lb);
        if abs(D) > 1
            feasible = false;  % 超出三角形条件
            return;
        end
        % 肘部角（从动臂与主动臂夹角）
        gamma = acos(D);

        % 主动臂关节角 theta_i
        % 通过几何关系求解
        alpha = atan2(z_diff, r);
        beta = asin(Lb * sin(gamma) / sqrt(r^2 + z_diff^2));
        theta_i = alpha + beta;  % 注意符号取决于机构装配

        % 将角度转换到标准范围（-pi, pi]
        theta_i = mod(theta_i + pi, 2*pi) - pi;

        theta(i) = theta_i;
    end

    % 检查角度是否在允许范围内（可根据实际机构修改）
    theta_min = -pi/2;  % 示例：-90°
    theta_max =  pi/2;  % 示例：+90°
    if any(theta < theta_min) || any(theta > theta_max)
        feasible = false;
    end
end

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3. 工作空间扫描主程序

%% Delta 机器人工作空间绘制
clear; clc; close all;

% ====== 机构参数（单位：mm）======
Rb = 200;      % 基座半径
Rp = 50;       % 动平台半径
La = 250;      % 主动臂长度
Lb = 600;      % 从动臂长度

% 关节角度限制（弧度）
theta_min = -deg2rad(45);   % -45°
theta_max =  deg2rad(45);   % +45°

% ====== 扫描范围 ======
% 根据机构尺寸估算工作空间的大致范围
x_range = [-300, 300];
y_range = [-300, 300];
z_range = [-700, -200];   % 注意：Delta 的工作空间通常在基座下方（z负方向）

% 扫描分辨率（点数越多越精细，但计算量增大）
res = 40;   % 每个方向采样点数

% ====== 生成网格点 ======
x_vals = linspace(x_range(1), x_range(2), res);
y_vals = linspace(y_range(1), y_range(2), res);
z_vals = linspace(z_range(1), z_range(2), res);

% 存储可达点
reachable_points = [];

% 进度条
fprintf('正在扫描工作空间...\n');
total = length(x_vals) * length(y_vals) * length(z_vals);
count = 0;

for ix = 1:length(x_vals)
    x = x_vals(ix);
    for iy = 1:length(y_vals)
        y = y_vals(iy);
        for iz = 1:length(z_vals)
            z = z_vals(iz);
            
            % 调用逆运动学
            [theta, feasible] = delta_inverse_kinematics(x, y, z, Rb, Rp, La, Lb);
            
            % 检查关节角度限制
            if feasible && all(theta >= theta_min) && all(theta <= theta_max)
                reachable_points(end+1, :) = [x, y, z];
            end
            
            count = count + 1;
            if mod(count, 100) == 0
                fprintf('进度: %.1f%%\n', count/total*100);
            end
        end
    end
end

fprintf('扫描完成！共找到 %d 个可达点。\n', size(reachable_points,1));

% ====== 绘制工作空间 ======
figure('Name', 'Delta机器人工作空间', 'NumberTitle','off');
hold on; grid on; axis equal;

% 绘制可达点云
scatter3(reachable_points(:,1), reachable_points(:,2), reachable_points(:,3), ...
    10, 'b.', 'MarkerFaceAlpha', 0.5);

% 绘制基座和动平台示意（可选）
% 基座圆环
theta_plot = linspace(0, 2*pi, 100);
plot3(Rb*cos(theta_plot), Rb*sin(theta_plot), zeros(size(theta_plot)), 'r-', 'LineWidth', 2);
% 动平台参考圆（在z=-400处）
plot3(Rp*cos(theta_plot), Rp*sin(theta_plot), -400*ones(size(theta_plot)), 'g--', 'LineWidth', 1);

xlabel('X (mm)'); ylabel('Y (mm)'); zlabel('Z (mm)');
title('Delta 机器人工作空间');
view(45, 30);
legend('可达点', '基座', '动平台参考');
hold off;

参考代码 Dlta型空间并联机构的工作空间绘制程序 www.youwenfan.com/contentcnv/81401.html

4. 改进与优化建议

4.1 提高计算效率

• 使用向量化操作代替三重循环（meshgrid + 批量逆解）
• 采用八叉树或空间分割提前剔除不可能区域

4.2 绘制工作空间边界

• 使用 convhull 或 boundary 函数提取点云的凸包或 α-shape
• 用 trisurf 绘制表面

4.3 考虑更多约束

• 从动臂干涉检查（相邻支链碰撞）
• 电机扭矩限制
• 奇异位形排除

4.4 交互式参数调整

• 添加滑块控件实时调整 \(R_b, R_p, L_a, L_b\) 并重绘

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5. 运行示例

假设使用上述默认参数，运行后得到的典型工作空间形状如下：

• 在 XY 平面：大致呈圆形，中心区域完全可达，边缘逐渐减少
• 在 XZ 截面：呈现拱形，顶部平坦，底部收缩
• 整体类似一个倒扣的碗或穹顶

如果逆解公式正确，可达点云将形成一个连续的立体区域。若出现空洞或异常，请检查逆解公式中的符号和几何关系。

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6. 注意事项

1. 逆解公式准确性：不同文献中 Delta 机器人的运动学推导略有差异，请务必根据您的机构装配方式（主动臂朝上还是朝下，从动臂连接方式）调整公式。
2. 坐标系方向：通常基座位于 \(z=0\) 平面，动平台向下运动（\(z\) 为负）。若您的机构相反，需相应调整扫描范围和符号。
3. 关节角度范围：实际 Delta 机器人的主动臂通常只能在约 \(\pm 45^\circ\) 范围内摆动，请根据实际硬件修改 theta_min/max。