基于MATLAB的Copula函数实现

基于MATLAB的Copula函数实现示例，包括常见的Copula函数（如高斯Copula、t-Copula、Clayton Copula等），以及如何计算联合分布函数的概率密度函数（PDF）、分布函数（CDF）和生成随机数。

MATLAB实现Copula函数

1. 高斯Copula

高斯Copula是最常用的Copula函数之一，用于描述变量之间的线性相关性。

function [u, v, pdf, cdf] = gaussianCopula(rho, numSamples)
    % 高斯Copula
    % rho: 相关系数
    % numSamples: 生成的样本数量

    % 生成相关正态分布样本
    mvnrnd([0, 0], [1, rho; rho, 1], numSamples);
    z = mvnrnd([0, 0], [1, rho; rho, 1], numSamples);

    % 转换为均匀分布
    u = normcdf(z(:, 1));
    v = normcdf(z(:, 2));

    % 计算PDF和CDF
    pdf = mvnpdf([u, v], [0, 0], [1, rho; rho, 1]);
    cdf = mvncdf([u, v], [0, 0], [1, rho; rho, 1]);
end

2. t-Copula

t-Copula适用于描述具有重尾的分布，能够更好地捕捉极端值的相关性。

function [u, v, pdf, cdf] = tCopula(rho, nu, numSamples)
    % t-Copula
    % rho: 相关系数
    % nu: 自由度
    % numSamples: 生成的样本数量

    % 生成相关t分布样本
    t = mvtrnd([1, rho; rho, 1], nu, numSamples);

    % 转换为均匀分布
    u = tcdf(t(:, 1), nu);
    v = tcdf(t(:, 2), nu);

    % 计算PDF和CDF
    pdf = mvtPdf([u, v], [1, rho; rho, 1], nu);
    cdf = mvtCdf([u, v], [1, rho; rho, 1], nu);
end

3. Clayton Copula

Clayton Copula适用于描述下尾依赖性较强的变量之间的关系。

function [u, v, pdf, cdf] = claytonCopula(theta, numSamples)
    % Clayton Copula
    % theta: 参数
    % numSamples: 生成的样本数量

    % 生成均匀分布样本
    u = rand(numSamples, 1);
    v = rand(numSamples, 1);

    % 计算联合分布
    cdf = (u.^(-theta) + v.^(-theta) - 1).^(-1/theta);
    pdf = (theta + 1) * (u.^(-theta - 1) * v.^(-theta - 1)) ./ (u.^(-theta) + v.^(-theta) - 1).^(-2 - 1/theta);
end

4. Gumbel Copula

Gumbel Copula适用于描述上尾依赖性较强的变量之间的关系。

function [u, v, pdf, cdf] = gumbelCopula(theta, numSamples)
    % Gumbel Copula
    % theta: 参数
    % numSamples: 生成的样本数量

    % 生成均匀分布样本
    u = rand(numSamples, 1);
    v = rand(numSamples, 1);

    % 计算联合分布
    cdf = exp(-((-log(u)).^theta + (-log(v)).^theta).^(1/theta));
    pdf = (theta + 1) * (u.^(-theta - 1) * v.^(-theta - 1)) .* exp(-((-log(u)).^theta + (-log(v)).^theta).^(1/theta));
end

使用

使用上述Copula函数的示例：

% 参数设置
rho = 0.5; % 高斯Copula相关系数
nu = 5; % t-Copula自由度
theta = 2; % Clayton和Gumbel Copula参数
numSamples = 1000; % 生成的样本数量

% 高斯Copula
[u, v, pdf, cdf] = gaussianCopula(rho, numSamples);

% t-Copula
[u_t, v_t, pdf_t, cdf_t] = tCopula(rho, nu, numSamples);

% Clayton Copula
[u_c, v_c, pdf_c, cdf_c] = claytonCopula(theta, numSamples);

% Gumbel Copula
[u_g, v_g, pdf_g, cdf_g] = gumbelCopula(theta, numSamples);

% 绘制结果
figure;
subplot(2, 2, 1);
scatter(u, v);
title('Gaussian Copula');
subplot(2, 2, 2);
scatter(u_t, v_t);
title('t-Copula');
subplot(2, 2, 3);
scatter(u_c, v_c);
title('Clayton Copula');
subplot(2, 2, 4);
scatter(u_g, v_g);
title('Gumbel Copula');

参考工具箱 copula工具库 www.youwenfan.com/contentcnj/60040.html

事项

1. 参数选择：不同的Copula函数有不同的参数，需要根据具体的应用场景选择合适的参数。
2. 边缘分布：在实际应用中，通常需要先对数据进行边缘分布的拟合，然后再应用Copula函数。
3. 随机数生成：生成随机数时，可以使用MATLAB内置的随机数生成函数，如rand、mvnrnd等。