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主旋律系列 UOJ #37. [清华集训 2014] 主旋律 [pres] DAG 计数 考虑如何计数 \(n\) 个点的有标号 DAG 数量。设 \(f_i\) 表示 \(i\) 个点的有标号 DAG 数量。对于 DAG，可以每次按照拓扑排序顺序剥去所有入度为 \(0\) 的节点，按照这样的顺序来 阅读全文
posted @ 2025-03-15 23:37
烟山嘉鸿
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凸优化 为了简单维护每一个区间的斜率，我们一般在端点上维护斜率的差分，由此有直接维护法（每个线段直接维护这个线段相对上一个线段斜率的变化量）和堆叠法（每两个元素之间斜率固定为 \(1\)，用多个相同元素表示超过 \(1\) 的增量）。相对来说，前一种便于维护斜率变化量大的情况，第二种便于维护斜率情况 阅读全文
posted @ 2025-03-15 23:41
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#7943.LIS on Grid 约定网格左上角为 \((1,1)\)，右下角为 \((n,m)\)。根据狄尔沃斯定理，我们设偏序关系为自己大于右上方的所有点，转化为求最小的链划分。不妨考虑二分答案，此处单调性显然，考虑 check 能否在满足每一列的黑格子限制的前提下构造出 \(k\) 条链，不 阅读全文
posted @ 2025-03-15 23:27
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各种简单数据结构维护的 polylog 题 P11094 [ROI 2021 Day 2] 砍树 比较有思维量的数据结构题。 对于这一类区间操作统计合法点数的问题，不妨考虑对点计数而非模拟过程。不妨求出 \(L_i\) 表示 \(i\) 向左倒下，需要询问的 \(l\) 的最大值；\(R_i\) 表 阅读全文
posted @ 2025-03-15 23:25
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P9387 [THUPC 2023 决赛] 巧克力 根据公式，对于单块长为 \(x\) 的巧克力，其 SG 函数 \(SG(x)=\mathrm{mex}_{a+b<x}(SG(a)\oplus SG(b))\)。又 \(SG(0)=0\)。令 \(a=0\) 可以得到 \(SG(x)\geq x\ 阅读全文
posted @ 2025-03-15 23:20
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FFT 与多项式求逆 P4841 [集训队作业2013] 城市规划 生成函数可以把卷积形式的式子转成无限项的多项式乘积，然后利用模某一项的多项式求逆即可算出答案。非卷积形式的式子，可以考虑往卷积形式上构造。 考虑设 \(f_i\) 表示 \(i\) 个点的简单无向连通图数目，\(g_i\) 表示 \ 阅读全文
posted @ 2025-03-03 23:34
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CF869D The Overdosing Ubiquity 虚树。注意到对于一条非树边 \((u,v)\)，起点一开始走到 \(u,v\) 间路径的哪个位置是重要的，因此把路径上的 \(\log\) 个点都拿出来建虚树，每个点的权值是其对应的所有非关键点个数，于是枚举每个起点，DFS 求出以它为起 阅读全文
posted @ 2025-03-03 23:27
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欧拉定理 费马小定理 对于互质的两个数 \(a,p\)，若 \(p\) 为质数，则有 \(a^{p-1}\equiv 1\pmod p\)。 欧拉定理 对于互质的两个数 \(a,p\)，有 \(a^{\varphi(p)}\equiv 1\pmod p\)。 扩展欧拉定理 对于三个正整数 \(a,b 阅读全文
posted @ 2025-03-03 23:22
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数论分块 下取整的结合律 \[\lfloor\frac{a}{bc}\rfloor=\lfloor\frac{\lfloor\frac ab\rfloor}{c}\rfloor \]证明：设 \(\lfloor \frac ab\rfloor=k\)，\(a=bk+r\)，显然有 \(0\leq r 阅读全文
posted @ 2025-03-03 23:12
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霍尔定理 原始形式：对于两点集 \(A,B\)，设一个 \(A\) 的子集 \(S\) 的邻域为 \(N_S\)，则两点集的最大匹配大小为 \(|A|\) 的充要条件是对于任意的 \(S\subseteq A\)，均有 \(|N_S|\geq |S|\)。 扩展一（不完全匹配）：对于两点集 \(A, 阅读全文
posted @ 2025-03-03 12:24
烟山嘉鸿
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