霍尔定理

霍尔定理

• 原始形式：对于两点集 \(A,B\)，设一个 \(A\) 的子集 \(S\) 的邻域为 \(N_S\)，则两点集的最大匹配大小为 \(|A|\) 的充要条件是对于任意的 \(S\subseteq A\)，均有 \(|N_S|\geq |S|\)。
• 扩展一（不完全匹配）：对于两点集 \(A,B\)，设一个 \(A\) 的子集 \(S\) 的邻域为 \(N_S\)，则两点集的最大匹配大小为 \(|A|-d\) 的充要条件是对于任意的 \(S\subseteq A\)，均有 \(|N_S|-d\geq |S|\)。进一步地，一个二分图的最大匹配大小为 \(|A|-\max_{S\subseteq A} (0,|S|-|N_S|)\)，此结论与 \(|A|,|B|\) 的大小关系无关。
• 扩展二（一对多匹配）：对于两点集 \(A,B\)，定义一个 \(x\in A\) 与 \(r_x\) 个 \(y\in B\) 形成一个匹配，则两点集的最大匹配大小为 \(|A|\) 的充要条件是对于任意的 \(S\subseteq A\)，均有 \(|N_S|\geq \sum_{x\in S}r_s\)。
• 广义霍尔定理（推广到网络流形式）：对于源部点集 \(A\)，每个点的流量为 \(a_i\)；汇部点集 \(B\)，每个点的流量为 \(b_i\)，则左部能流满当且仅当对于任意的 \(S \subseteq A\) 均有 \(\sum_{y\in N_S}b_y\geq \sum_{x\in S}a_x\)。

P9339 [JOISC 2023 Day3] Cookies

考虑流模型，每种饼干有 \(a_i\) 的流，每个盒子有 \(cnt_j\) 的流，每种饼干向每个盒子连 \(1\) 的边。考察一个盒子组的合法条件：

• \(\sum_{a_i}=\sum_{cnt_j}\)。
• 盒子一侧流满。由广义霍尔定理知这等价于要求对于任意一个盒子子集 \(S\)，有 \(\sum_{j\in S}cnt_j\le \sum_{i=1}^n\min(|S|,a_i)\)。

第二个限制显然落在最大的若干个 \(cnt\) 上。于是考虑从大往小选盒子，设 \(f_{i,j,k}\) 表示前 \(i\) 大的桶，选了 \(j\) 个 \(cnt\)，此时和为 \(k\) 是否可行。注意到有限制 \(j\le \frac{tot}{sz_i}\)，于是前两维总共是 \(O(n\log n)\)。对第三位上 bitset，复杂度做到 \(O(\frac{n^2\log n}{w})\)。于是可以求出一组合法 \(cnt\)，预处理每一个数量对应限制形成的 bitset 即可。

然后把所有的 \(a\) 扔进堆里，从大往小枚举 \(cnt\) 并选择即可构造方案。

[ABC215H] Cabbage Master

流模型显然。根据广义霍尔定理，合法条件是对于任意一个 \(S\subseteq B\)，都有 \(\sum_{i\in S}b_i\le \sum_{j\in N_S}a_j\)。考虑枚举邻域 \(N_S\)，根据不合法不优，我们可以直接认为左边的最大值就是所有邻域为当前子集的 \(b\) 的和。一遍高维前缀和即可求出最小值 \(ans\)。注意判掉 \(N_S\) 不是任何一个集合的邻域超集的情况。

然后考虑计数。设 \(g_x\) 表示从 \(x\) 集合里选出 \(ans\) 个元素的方案。枚举每一个满足删掉 \(ans\) 个子集内元素就合法的邻域计算方案。问题在于这样会算重。考虑在每一个极小集合处统计答案，设 \(f_S\) 表示 \(S\) 集合中，每种都至少选了一次的方案，容斥可以得到 \(f_S=\sum_{T\subseteq S}(-1)^{S-T}g_T\)。把含有 \(S\) 的部分提出来，后面看成一个整体，可以做高维前缀和得到 \(f\)。最后再做一次高维后缀和即可知道每个集合是否合法。总复杂度 \(O(n2^n)\)。

[AGC037D] Sorting a Grid

通过一些简单推理可以知道 B 的限制是：我们把元素分成 \([1,m],[m+1,2m]\dots\) 共 \(n\) 组，每一组的所有元素在每一列中出现。也即每一列中都有每一组的元素出现。对于每一列，就是某一行与某一组构成完美匹配关系。考虑左部点为 \(n\) 行，右部点为 \(n\) 组，每行内有多少个组内元素就连多少边。此时每个点的度数均为 \(m\)。我们在这个图上跑 \(m\) 次完美匹配，每一次结束后删除匹配边，即可求出每一列的情况。

关于能跑出 \(m\) 次完美匹配的证明：

引理：任意一个所有点度数均相同且不为 \(0\) 的二分图均存在完美匹配。

证明：首先这样的图左右部点必定相同，设度数为 \(d\)。对于任意一个大小为 \(|S|\) 的左点集，其都引出 \(d|S|\) 条边；由于右侧每个点的度数也为 \(d\)，故邻域大小至少为 \(|S|\)，由霍尔定理知引理成立。

考虑证明一个度数均为 \(d\) 的二分图能跑出 \(d\) 个完美匹配。由引理知至少能跑出一个完美匹配，删去匹配边后变成一个度数均为 \(d-1\) 的二分图，归纳知成立。

P9070 [CTS2023] 琪露诺的符卡交换

考虑在矩阵上交换。注意到矩阵的每一行可以带标号重排，于是变为先重排，后交换。注意到转置操作是一组合法的交换方案，于是目标是重排每一行使得每一列是一个排列，和上面的操作一致。此时每个点的度数均为 \(n\)，能跑出来 \(n\) 组最大匹配，故一定有解。网络流即可确定每一组的形态。

P9528 [JOISC2022] 蚂蚁与方糖

把蚂蚁坐标离散化，流模型比较显然。对于蚂蚁集合，能达到邻域上界的集合显然有如下性质：

• 同一个位置的所有蚂蚁一定全部选入。
• 对于三个顺次排列的蚂蚁坐标 \(i,j,k\)，若 \(i,k\) 被选择而 \(j\) 未被选择，则一定有 \(k-i>2l\)，否则选上 \(j\) 不导致邻域增大。

因此集合一定形如若干个连续区间，每个区间之间的距离超过 \(2l\)。这样每个区间的邻域不交，可单独考虑。根据霍尔定理推论一，设 \(a\) 为一个位置的蚂蚁数量，考虑对每一段容斥邻域，由于是单增一维段，显然只需要加上每一段的邻域和，再减去相邻相交部分的邻域和。我们有如下答案式子：

\[\sum a_i-\max_S(\sum_{[l,r]\in S}\sum_{i=l}^r(a_i-N_{a_i})+\sum_{[l,r]\in S}\sum_{i=l}^{r-1}N_{a_i}\cap N_{a_{i+1}}) \]

由于是线段答案，我们类似最大子段和的思想，考虑利用线段树维护区间内左右端点分别选/不选的最大方案和。为了合并方便，我们需要记录相邻两个位置的邻域交。注意到若存在小于 \(2l\) 的区间，则邻域有交，使得算出来的答案偏小，不合法不优，故不必考虑。

修改时，加蚂蚁则可以直接单点修改。否则会对周围 \(2l\) 内的蚂蚁点产生影响，是一个区间修改。注意到仅有左右侧都不选的情况，可能为空，修改后要对 \(0\) 取 \(\max\)；其他情况下都对区间产生一个系数为 \(1\) 的贡献。

线段树维护，复杂度 \(O(Q\log Q)\)。