迭代收缩阈值算法和快速收缩阈值迭代算法求解Lasso问题

迭代收缩阈值算法（ISTA）和快速迭代收缩阈值算法（FISTA）求解Lasso问题

1. 迭代收缩阈值算法（ISTA）

ISTA是一种用于求解Lasso问题的迭代算法，通过结合梯度下降和软阈值操作来逐步逼近最优解。其更新公式如下：

\(\beta^{(k+1)} = S_{\lambda t}\left(\beta^{(k)} - t \nabla f(\beta^{(k)})\right)\)

其中， \(S_{\lambda t}\)是软阈值算子，定义为：
\(S_{\lambda t}(x) = \text{sign}(x) \max(|x| - \lambda t, 0)\)

\(t\) 是步长，通常选择为 \(\frac{1}{L}\)，其中 \(L\) 是目标函数的Lipschitz常数。

ISTA的收敛速度为 \(O(1/k)\) ，即：

\(F(\beta^{(k)}) - F(\beta^*) \leq \frac{L \|\beta^{(0)} - \beta^*\|_2^2}{2k}\)

其中，\(\beta^*\) 是最优解。

2. 快速迭代收缩阈值算法（FISTA）

FISTA是ISTA的加速版本，通过引入动量项来提高收敛速度。其更新公式如下：

\(\beta^{(k+1)} = S_{\lambda t}\left(y^{(k)} - t \nabla f(y^{(k)})\right)\)

\(y^{(k+1)} = \beta^{(k+1)} + \frac{t_{k-1} - 1}{t_k} (\beta^{(k+1)} - \beta^{(k)})\)

其中，\(y^{(k)}\)是辅助变量，用于存储前两次迭代的信息， \(t_k\) 是迭代步长，通常选择为：

\(t_k = \frac{1 + \sqrt{1 + 4t_{k-1}^2}}{2}\)

FISTA的收敛速度为 \(O(1/k^2)\) ，显著快于ISTA。

3. MATLAB实现

基于MATLAB的ISTA和FISTA算法实现，用于求解Lasso问题：

% 参数设置
lambda = 0.1; % 正则化参数
maxIter = 1000; % 最大迭代次数
tol = 1e-6; % 收敛阈值

% 生成随机数据
n = 100; % 样本数量
p = 50; % 特征数量
X = randn(n, p); % 设计矩阵
beta_true = randn(p, 1); % 真实系数
y = X * beta_true + 0.1 * randn(n, 1); % 响应变量

% ISTA算法
function beta = ISTA(X, y, lambda, maxIter, tol)
    n = size(X, 1);
    p = size(X, 2);
    L = norm(X' * X, 2); % Lipschitz常数
    t = 1 / L;
    beta = zeros(p, 1); % 初始化系数
    for iter = 1:maxIter
        grad = (1/n) * (X' * (X * beta - y)); % 梯度
        beta_new = softThreshold(beta - t * grad, lambda * t); % 软阈值操作
        if norm(beta_new - beta, 2) < tol
            break;
        end
        beta = beta_new;
    end
end

% FISTA算法
function beta = FISTA(X, y, lambda, maxIter, tol)
    n = size(X, 1);
    p = size(X, 2);
    L = norm(X' * X, 2); % Lipschitz常数
    t = 1 / L;
    beta = zeros(p, 1); % 初始化系数
    y = zeros(p, 1); % 辅助变量
    t_k = 1; % 迭代步长
    for iter = 1:maxIter
        grad = (1/n) * (X' * (X * y - y)); % 梯度
        beta_new = softThreshold(y - t * grad, lambda * t); % 软阈值操作
        t_k_new = (1 + sqrt(1 + 4 * t_k^2)) / 2;
        y = beta_new + ((t_k - 1) / t_k_new) * (beta_new - beta);
        if norm(beta_new - beta, 2) < tol
            break;
        end
        beta = beta_new;
        t_k = t_k_new;
    end
end

% 软阈值函数
function x = softThreshold(x, lambda)
    x = sign(x) .* max(abs(x) - lambda, 0);
end

% 调用算法
beta_ista = ISTA(X, y, lambda, maxIter, tol);
beta_fista = FISTA(X, y, lambda, maxIter, tol);

% 显示结果
disp('ISTA结果:');
disp(beta_ista);
disp('FISTA结果:');
disp(beta_fista);

参考代码 youwenfan.com/contentcnb/82085.html 迭代收缩阈值算法和快速收缩阈值迭代算法求解Lasso问题

说明

1. 参数设置：定义了正则化参数、最大迭代次数和收敛阈值。
2. 数据生成：生成随机设计矩阵和响应变量。
3. ISTA算法：实现了ISTA算法，通过梯度下降和软阈值操作逐步逼近最优解。
4. FISTA算法：实现了FISTA算法，通过引入动量项加速收敛。
5. 软阈值函数：实现了软阈值操作，用于稀疏化系数。
6. 调用算法：调用ISTA和FISTA算法，求解Lasso问题并显示结果。