Pick定理、欧拉公式和圆的反演

Pick定理、欧拉公式和圆的反演

Tags:高级算法


Pick定理

内容

定点都是整点的多边形,内部整点数为\(innod\),边界整点数\(ednod\),\(S=innod+\frac{ednod}{2}-1\)

证明

把每个整点近似地看成一个圆,那么多边形内部的整点所代表的圆全部被算入
多边形边界上的圆被算了一半
顶点上被算了\(\sum 半圆-外角\),外角和360度,于是\(-1\)

应用

POJ2954 求格点三角形内部点数

欧拉公式

内容

\[V-E+F=2 \]

\(V:vertex\) 顶点
\(E:edge\)
\(F:Flat\)

适用于所有多变形(无论维度)

例如一个长方形:\(4\)个点\(4\)条边,两个面:里面和外面

应用

\(n\)个点做三维凸包,求增量构造法复杂度。

假设\(n\)个点都在凸包上,那么\(V=n\),每个面有三条边,每条边被算了两次,即\(2E=3F\)
通过上面的公式可以得到\(F=2n-4,E=3n-6\)
增量构造法的复杂度是面数×点数,所以是\(\cal O(n^2)\)级别

圆的反演变换

内容

反演中心为\(O\),反演半径为\(R\),若经过\(O\)的直线经过\(P,P'\),且\(OP*OP'=R^2\),则称\(P\)\(P'\)关于\(O\)互为反演

性质

  • 1.一根过\(O\)的直线的反形是本身
  • 2.一根不过\(O\)的直线的反形是一个过\(O\)的圆
  • 3.一个过\(O\)的圆的反形是一根不过\(O\)的直线
  • 4.一个不过\(O\)的圆的反形是一个和该圆关于\(O\)位似的圆

下面这张图可以粗略解释一下有这么个东西:两种不同颜色的三角形相似,可以证出\(CD\)关于\(E\)的反形为圆

  • 5.反演不改变相切关系

应用

1、求平面内与原点四点共圆的三元组个数

Problem Provider:自为风月马前卒
对所有点反演后求三点共线的三元组即可

2、求经过P点并与两给定相离圆外切的圆

参考博客:ACdreamer反演教程水郁图文cdsszjj题解教你尺规画图
Problem Provider:HDU4773 Problem of Apollonius
先将两相离圆关于P反演,然后做反形的公切线,反演回来成为公切圆

TBC...

posted @ 2019-01-08 22:44  饕餮传奇  阅读(1803)  评论(0编辑  收藏  举报