拉格朗日反演（暂时鸽）与CF1349F2（xtq F2）
多项式真难
拉格朗日反演
先鸽着。
接下来看个小 例 题
CF1349F Slime and Sequences
这就是世界顶尖的计数水平么
先来看简单版。
序列不好计数，我们考虑把它转化成排列。
考虑对于一个长度为\(n\)排列\(a\)，我们记\(s_i\)表示满足\(1\le j<i,a_j<a_{j+1}\)的\(j\)的数量。
那么，如果我们在序列的第\(a_i\)位填上\(s_i+1\)，我们就得到了一个合法的序列。
然后，我们对于一个长度为\(n\)的合法序列\(p\)，我们可以将所有\(i\)以\(p_i\)从小到大为第一关键字，\(i\)从大到小为第二关键字排序，就得到了一个排列。
于是我们就将排列和合法的序列一一对应了。
然后我们考虑统计答案，记\(ans_x\)表示\(x+1\)在所有合法序列中出现的次数和。
那么，我们有
\[ans_x=\sum_{i=\max(1,x)}^nf(i,x)\binom{n}{i}(n-i)!
\]
其中\(f(i,j)\)表示长度为\(i\)的排列中有\(j\)个满足\(a_k<a_{k+1}\)的\(k\)的方案数。
也即我们枚举这个数在排列的\(s_i\)中的出现位置\(i\)（也即出现在对应序列的\(a_i\)位置），然后我们要求\(s_i=x\)，然后从\(n\)个数中选出\(i\)个填入前\(i\)位，后面\(n-i\)位随便填。
然后我们考虑\(f(x,y)\)怎么求。
如果是简单版本，xjb算一下就能做到\(O(n^2)\)了。
对于难的版本，我们考虑优化。
我们记\(g(x,y)\)表示长度为\(x\)的排列，至少有\(y\)个满足条件位置的方案数。
那么我们有
\[g(x,y)=\sum_{j\ge y}^x\binom{j}{y}f(x,j)
\]
二项式反演得
\[f(x,y)=\sum_{j\ge y}^x(-1)^{j-y}\binom{j}{y}g(x,j)
\]
然后我们考虑\(g\)怎么求，如果我们确定位置\(i\)有\(a_i<a_{i+1}\)，我们就在\(i\)，\(i+1\)之间连一条边。那么由于我们有\(y\)条边，那么有\(x-y\)个连通块。由于我们要将\(x\)个数分到\(x-y\)个连通块中，而连通块内部的顺序是确定的，因此考虑使用EGF
这个EGF应该形如
\[T(z)=\sum_{i\ge1}\frac{z^i}{i!}=e^z-1
\]
也即
\[g(x,y)=x![z^x]T^{x-y}(z)
\]
那么我们现在考虑答案长啥样。
由于\(ans_0\)比较特殊，我们可以把它去掉，这样求和符号下面的\(\max\)就没有了。
\[\begin{split}
ans_x&=\sum_{i=x}^nf(i,x)\binom{n}{i}(n-i)!
\\
&=\sum_{i=x}^n\binom{n}{i}(n-i)!\sum_{j=x}^{i-1}(-1)^{j-x}\binom{j}{x}g(i,j)
\\
&=\sum_{i=x}^n\binom{n}{i}(n-i)!\sum_{j=x}^{i-1}(-1)^{j-x}\binom{j}{x}i![z^i]T^{i-j}(z)
\\
&=n!\sum_{i=x}^n\sum_{j=x}^i(-1)^{j-x}\binom{j}{x}[z^i]T^{i-j}(z)
\\
&=n!\sum_{j=x}^n(-1)^{j-x}\frac{j!}{x!(j-x)!}\sum_{i=j}^n[z^i]T^{i-j}(z)
\end{split}
\]
我们记\(V_{x}=\sum_{i=x}^n[z^i]T^{i-x}(z)\)那么上式可以化简为
\[ans_x=\frac{n!}{x!}\sum_{i=x}^n\frac{(-1)^{i-x}}{(i-x)!}\times i!V_i
\]
这是一个类似卷积的形式，可以通过一些翻转变成可以卷积的形式。
那么我们现在来求\(V_x\)。
\[\begin{split}
V_x&=\sum_{i=x}^n[z^i]T^{i-x}(z)
\\
&=\sum_{i=x}^n[z^i](e^z-1)^{i-x}
\\
&=\sum_{i=x}^n[z^x](\frac{e^z-1}{z})^{i-x}
\\
&=\sum_{i=0}^{n-x}[z^x](\frac{e^z-1}{z})^i
\end{split}
\]
记\(F(z)=\frac{e^z-1}{z}\)，那么这个式子形如等比数列求和
\[\begin{split}
V_x&=\sum_{i=0}^{n-x}[z^x]F^i(z)
\\
&=[z^x]\frac{1-F^{n-x+1}(z)}{1-F(z)}
\\
&=[z^x]\frac{1}{1-F(z)}+[z^x]\frac{F^{n-x+1}(z)}{F(z)-1}
\end{split}
\]
前半部分就是求个逆，不过由于分母的常数项为\(0\)，应该将分母的幂次降低\(1\)后求\(z^{x-1}\)项系数。
再来考虑后半部分，设\(S_x=[z^x]\frac{F^{n-x+1}(z)}{F(z)-1}\)。
由于不太好求了，我们考虑引入一个新的未知数\(w\)
\[\begin{split}
S_x&=[z^x]\frac{F^{n-x+1}(z)}{F(z)-1}
\\
&=[z^{n+1}]\frac{(zF(z))^{n-x+1}}{F(z)-1}
\\
&=[z^{n+1},w^{n-x+1}]\frac{(wzF(z))^{n-x+1}}{F(z)-1}
\\
&=[z^{n+1},w^{n-x+1}]\frac{1}{F(z)-1}\sum_{i\ge0}(wzF(z))^i
\\
&=[z^{n+1},w^{n-x+1}]\frac{1}{F(z)-1}\times\frac{1}{1-wzF(z)}
\end{split}
\]
考虑拉格朗日反演。我们构造\(G(z),H(z),P(z)\)，满足\(H(G(z))=\frac{1}{F(z)-1}\times\frac{1}{1-wzF(z)}\)，\(P(G(z))=z\)。
首先令\(G(z)=zF(z)\)，我们再构造\(T(z)\)满足\(T(G(z))=F(z)\)，显然\(T(z)=\frac{z}{P(z)}\)。
于是\(H(z)=\frac{1}{T(z)-1}\times\frac{1}{1-wz}\)。
再来考虑\(P(z)\)，由于\(G(z)=zF(z)=e^z-1\)，所以\(P(e^z-1)=z\)，\(P(z)=\ln(z+1)\)。
于是\(T(z)=\frac{z}{\ln(z+1)}\)。
那么现在我们做拉格朗日反演（注意之后的求导将\(w\)作为常数）
\[[z^n]H(G(z))=\frac{1}{n}[z^{n-1}]H'(z)(\frac{z}{P(z)})^n
\]
鉴于我们要\(z^{n+1}\)项，我们把式子里的\(n\)加上\(1\)
\[[z^{n+1}]H(G(z))=\frac{1}{n+1}[z^n]H'(z)(\frac{z}{P(z)})^{n+1}
\]
然后考虑式子里的\(H'(z)\)
\[\begin{split}
H'(z)&=\frac{1}{1-wz}(\frac{1}{T(z)-1})'+\frac{1}{T(z)-1}(\frac{1}{1-wz})'
\\
&=\frac{1}{1-wz}\times-\frac{T'(z)}{(T(z)-1)^2}+\frac{1}{T(z)-1}\times\frac{w}{(1-wz)^2}
\\
&=-\frac{T'(z)}{(1-wz)(T(z)-1)^2}+\frac{w}{(1-wz)^2(T(z)-1)}
\end{split}
\]
代入（公式可能会超出页面...有点难看）
\[\begin{split}
&[z^{n+1}]H(G(z))
\\
&=\frac{1}{n+1}[z^n](-\frac{T'(z)}{(1-wz)(T(z)-1)^2}+\frac{w}{(1-wz)^2(T(z)-1)})(\frac{z}{P(z)})^{n+1}
\\
&=\frac{1}{n+1}[z^n](-\frac{T'(z)}{(T(z)-1)^2}\times\frac{1}{1-wz}+\frac{1}{(T(z)-1)}\times\frac{w}{(1-wz)^2})(\frac{z}{P(z)})^{n+1}
\\
&=\frac{1}{n+1}[z^n,w^m](-\frac{T'(z)}{(T(z)-1)^2}\times\sum_{i\ge0}(wz)^i+\frac{1}{(T(z)-1)}\times w\sum_{i\ge0}(wz)^i\times\sum_{i\ge0}(wz)^i)(\frac{z}{P(z)})^{n+1}
\\
&=\frac{1}{n+1}[z^n,w^m](-\frac{T'(z)}{(T(z)-1)^2}\times\sum_{i\ge0}(wz)^i+\frac{1}{(T(z)-1)}\times\sum_{i\ge0}(i+1)z^iw^{i+1})(\frac{z}{P(z)})^{n+1}
\\
&=\frac{1}{n+1}[z^n](-\frac{T'(z)}{(T(z)-1)^2}\times z^m+\frac{1}{(T(z)-1)}\times mz^{m-1})(\frac{z}{P(z)})^{n+1}
\end{split}
\]
注意到\(P(z)=\frac{z}{T(z)}\)
\[\begin{split}
[z^{n+1}]H(G(z))&=\frac{1}{n+1}[z^n](-\frac{T'(z)}{(T(z)-1)^2}\times z^m+\frac{1}{(T(z)-1)}\times mz^{m-1})(\frac{z}{P(z)})^{n+1}
\\
&=\frac{1}{n+1}[z^n](-\frac{T'(z)}{(T(z)-1)^2}\times z^m+\frac{1}{(T(z)-1)}\times mz^{m-1})T^{n+1}(z)
\\
&=\frac{1}{n+1}[z^n](-\frac{T'(z)T^{n+1}(z)}{(T(z)-1)^2}\times z^m+\frac{T^{n+1}(z)}{(T(z)-1)}\times mz^{m-1})
\\
&=\frac{1}{n+1}([z^{n-m}](-\frac{T'(z)T^{n+1}(z)}{(T(z)-1)^2})+[z^{n-m+1}](\frac{mT^{n+1}(z)}{(T(z)-1)}))
\end{split}
\]
突然发现\(T(z)-1\)的常数项也是\(0\)（悲）
于是
\[[z^{n+1}]H(G(z))=\frac{1}{n+1}([z^{n-m+2}](-\frac{T'(z)T^{n+1}(z)}{(z^{-1}(T(z)-1))^2})+[z^{n-m+2}](\frac{mT^{n+1}(z)}{z^{-1}(T(z)-1)}))
\]
然后照着做就是了。
真是简单呢（口区）
code:
注：如果你的实现不太优秀可能会被卡常（
#include<bits/stdc++.h>
#define vi vector<int>
using namespace std;
namespace poly{
#define vi vector<int>
#define ci const int&
#define Red(x) (x+=(x>>31)&mod)
const int LM=(1<<22),mod=998244353;
int lm,lg[LM+10],rev[LM+10],rt[LM+10][2],iv[LM+10],*p,*q;
int POW(int x,int y){
int ret=1;
while(y)y&1?ret=1ll*ret*x%mod:0,x=1ll*x*x%mod,y>>=1;
return ret;
}
void NTT(vi&f,ci op){
int tn=f.size(),l=lg[tn],r,t1,t2;
long long nr;
for(int i=0;i<tn;++i)rev[i]=(rev[i>>1]>>1)+(i&1)*(1<<l-1),rev[i]<i?swap(f[rev[i]],f[i]),0:0;
for(int i=2;i<=tn;i<<=1){
r=rt[i][op];
for(int j=0;j<tn;j+=i){
nr=1,p=&f[j],q=&f[j+(i>>1)];
for(int k=j;k<j+(i>>1);++k,nr=nr*r%mod,++p,++q)t1=*p,t2=nr*(*q)%mod,(*p)-=(((*p)=t1+t2)>=mod?mod:0),(*q)=t1-t2,Red((*q));
}
}
if(op)for(int i=0;i<tn;++i)f[i]=1ll*f[i]*iv[tn]%mod;
}
vi Poly(ci x){
vi ret;
return ret.push_back(x),ret;
}
vi Plus(vi x,vi y){
int sz=max(x.size(),y.size());
x.resize(sz),y.resize(sz);
for(int i=0;i<sz;++i)(x[i]+=y[i])>=mod?x[i]-=mod:0;
return x;
}
vi Minus(vi x,vi y){
int sz=max(x.size(),y.size());
x.resize(sz),y.resize(sz);
for(int i=0;i<sz;++i)x[i]-=y[i],Red(x[i]);
return x;
}
vi Mul(vi x,ci y){
for(int i=0;i<x.size();++i)x[i]=1ll*x[i]*y%mod;
return x;
}
vi Mul(vi x,vi y,ci sz){
int tl=x.size()+y.size()-1,lth=1;
while(lth<tl)lth<<=1;
x.resize(lth),y.resize(lth),NTT(x,0),NTT(y,0);
for(int i=0;i<lth;++i)x[i]=1ll*x[i]*y[i]%mod;
NTT(x,1),x.resize(sz);
return x;
}
vi Inv(vi x){
if(x.size()==1)return x[0]=POW(x[0],mod-2),x;
vi tmp=x;
int ts=x.size(),sz=(ts+1>>1);
tmp.resize(sz),tmp=Inv(tmp);
int tl=ts+tmp.size()+tmp.size()-2,lth=1;
while(lth<tl)lth<<=1;
x.resize(lth),tmp.resize(lth),NTT(x,0),NTT(tmp,0);
for(int i=0;i<lth;++i)tmp[i]=(2-1ll*x[i]*tmp[i])%mod*tmp[i]%mod,Red(tmp[i]);
NTT(tmp,1);
return tmp.resize(ts),tmp;
}
vi Ln(vi x){
vi tmp=x;
for(int i=1;i<tmp.size();++i)tmp[i-1]=1ll*i*tmp[i]%mod;
tmp.pop_back(),tmp=Mul(tmp,Inv(x),x.size());
for(int i=x.size()-1;i>0;--i)tmp[i]=1ll*tmp[i-1]*iv[i]%mod;
tmp[0]=0;
return tmp;
}
vi Exp(vi x){
if(x.size()==1)return x[0]=1,x;
int sz=(x.size()+1>>1);
vi tmp=x,t2;
tmp.resize(sz),tmp=Exp(tmp),t2=tmp;
t2.resize(x.size());
return Mul(tmp,Plus(Minus(Poly(1),Ln(t2)),x),x.size());
}
vi POW(vi x,ci y,ci yc){
return Exp(Mul(Ln(x),y));
}
void init(ci x){
lm=1;
while(lm<x)lm<<=1;
for(int i=2;i<=lm;++i)lg[i]=lg[i>>1]+1,lg[i]!=lg[i-1]?rt[i][0]=POW(3,(mod-1)/i),rt[i][1]=POW(rt[i][0],mod-2):0;
iv[1]=1;
for(int i=2;i<=lm;++i)iv[i]=(-1ll*(mod/i)*iv[mod%i])%mod+mod;
}
}
using namespace poly;
int n,tmp,s[100010],V[100010],fac[100010],invf[100010],a0;
vi m,m1,md,t1,t2,val1,val2,f,ff,v,v2,tv,mp,im;
int main(){
scanf("%d",&n),poly::init((n+10)*3),t1.push_back(0),t1.push_back(1),t2=t1,t2[0]=1,t2.resize(n+5);
fac[0]=1;
for(int i=1;i<=n+5;++i)fac[i]=1ll*fac[i-1]*i%mod;
invf[n+5]=POW(fac[n+5],mod-2);
for(int i=n+4;i>=0;--i)invf[i]=1ll*invf[i+1]*(i+1)%mod;
m=Ln(t2);
for(int i=0;i<m.size()-1;++i)m[i]=m[i+1];
m.pop_back(),m=Inv(m),md.resize(m.size()-1),m1.resize(m.size()-1);
for(int i=0;i<m.size()-1;++i)md[i]=1ll*m[i+1]*(i+1)%mod,m1[i]=m[i+1];
mp=POW(m,n+1,n+1),im=Inv(m1);
val1=Mul(Mul(md,mp,n+2),Mul(im,im,n+2),n+2);
val2=Mul(mp,im,n+2),tmp=POW(n+1,mod-2);
for(int i=0;i<=n+1;++i)val1[i]=1ll*val1[i]*tmp%mod,val2[i]=1ll*val2[i]*tmp%mod;
for(int i=0;i<=n;++i)s[i]=(val1[i+1]+(mod-1ll)*(n-i+1)%mod*val2[i+1])%mod;
f.resize(n+2);
for(int i=0;i<n+2;++i)f[i]=mod-invf[i+2];
f=Inv(f),v.resize(n+1),v2.resize(n+1);
for(int i=0;i<=n;++i)(v[i]=f[i+1]-s[i]-(!i))>=mod?v[i]-=mod:(v[i]<0?v[i]+=mod:0),v[i]=1ll*v[i]*fac[i]%mod;
for(int i=0;i<=n-i;++i)swap(v[i],v[n-i]);
for(int i=0;i<=n;++i)v2[i]=((i&1?mod-1ll:1ll)*invf[i])%mod;
tv=Mul(v,v2,n+1);
for(int i=0;i<=n-i;++i)swap(tv[i],tv[n-i]);
for(int i=1;i<=n;++i)a0=(a0+1ll*fac[n]*invf[i])%mod;
printf("%d",a0);
for(int i=1;i<n;++i)printf(" %lld",1ll*tv[i]*fac[n]%mod*invf[i]%mod);
return 0;
}
