算法竞赛-浅谈递归
递归的介绍
递归需要有基例、递归前进段和递归返回段（return语句），是一种程序设计技巧，可以使程序编写简单，但实际上要付出低效率的代价
计算时间复杂度常用数据的记忆：（程序设计基本功，由于递归的低效，所以在程序设计的时候更要注意）
\(2^{20}\approx10^6\)
\(2^{16}=65536\)
\(2^{15}=32768\)
\(2^{63} \approx 10^{18}\)
用递归实现枚举操作
递归的数据结构表现之一为递归搜索树，因此在写递归函数的时候，我们通常把他们取名为dfs()（这也说明了在枚举这一操作中遍历这种树的办法常常是dfs)，在使用递归来进行枚举操作的时候，我们会从第一个步骤开始依次枚举不同的情况，生成由所有步骤组成的二叉树，再对树进行深度优先搜索，搜索到的每一个分支的最后的子节点就应该是问题的答案。
这里有两点值得注意：
1.在实际的程序运行中，我们并不是将二叉树生成完毕后，再对其进行深度优先遍历操作,而是在生成完父节点的子节点之后，对于已经完成当前分支情况的枚举结果的生成的分支进行回溯之后，对父节点进行恢复现场操作，将其状态重新变成未搜索状态，并进一步生成另外的一个子节点，重复这一过程。
2.由于有对时间复杂度的要求，在某些情况下，我们会对一些对结果不重要或者冗余的分支进行剪枝操作（实现一般也是寻找或构造出此种分支的特殊状态，用条件结构判断），这是降低时间复杂度的
用递归实现指数型枚举：
例题：
点击查看原题
从 1∼n 这 n 个整数中随机选取任意多个，输出所有可能的选择方案。
输入格式
输入一个整数 n。
输出格式
每行输出一种方案。
同一行内的数必须升序排列，相邻两个数用恰好 1 个空格隔开。
对于没有选任何数的方案，输出空行。
数据范围
1≤n≤15
点击查看代码（内含对递归函数的讲解）
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N=16;
int n;
int st[N];
//递归函数表示的是树的父节点的每一个子节点的生成逻辑，要抽象出逻辑来进行程序设计，不能简单地用顺序结构去理解，应该是（顺序结构+循环+迭代）（不太准确但好懂）
void dfs(int u)
{
//递归返回段
if (u>n)
{
for(int i=1;i<=n;i++)
if(st[i]==1)
printf("%d ",i);
printf("\n");
return;
}
//这两个分支是递归前进段：
//分支1：
st[u]=2;
dfs(u+1);
st[u]=0;
//分支2：
st[u]=1;
dfs(u+1);
st[u]=0;
}
int main()
{
cin >> n;
dfs(1);//这是基例
return 0;
}
递归实现排列型枚举：
点击查看原题
把 1∼n 这 n 个整数排成一行后随机打乱顺序，输出所有可能的次序。
输入格式
一个整数 n。
输出格式
按照从小到大的顺序输出所有方案，每行 1 个。
首先，同一行相邻两个数用一个空格隔开。
其次，对于两个不同的行，对应下标的数一一比较，字典序较小的排在前面。
数据范围
1≤n≤9
这个题目同样构建递归搜索树+进行深度优先搜索
点击查看代码
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N=10;
int n;
int ans[N];//存储每次递归出口的结果数组
bool st[N];//存储1-n数字的状态，是否已经被选到父节点之前的ans[i]中，true表示被选了，false表示还没有
void dfs(int u)//u表示父节点
{
if (u>n)//递归出口
{
for(int i=1;i<=n;i++)
printf("%d ",ans[i]);
printf("\n");
return;
}
for(int i=1;i<=n;i++)//递归前进+(1~n)的数字遍历
if(!st[i])
{
ans[u]=i;
st[i]=true;
dfs(u+1);
//恢复现场
ans[u]=0;
st[i]=false;
}
}
int main()
{
cin >> n;
dfs(1);//基例
return 0;
}
TIPS：这两道例题进行枚举的对象集都可以用一个for循环来生成，所以代码的模板不是唯一的，遇到其他的形式的对象集我们要找到他们与递归程序的联系，将之结合起来才是程序设计。
深度优先搜索：
深搜的时间复杂度：设n为树的节点数，m为数的边数，那么时间复杂度为O(n+m)
有些教授讲的可能是O（b ^ m），其中b是搜索树的最大分支因子（注：分支因子即每个节点下子节点的个数，也就是出度，这里的最大分支因子即为字面意思），m是状态空间的最大深度.如果搜索树的m比b大得多，则可能深搜比广度优先搜索快得多 （很好理解）。这种说法是一个广搜和深搜对比的一种说法，非严格的大O记号式的度量。
