聚类系数（Clustering Coefficient）

为什么有了节点度（Degree），还需要聚类系数呢？
因为节点度只能表示一个节点和多少个其他节点有联系，但它的邻居之间是否也有联系呢？这就是聚类系数要研究的东西。

如上图所示，我们重点研究节点C，已知C与A,B,D三个政府直接连接，因此$$D_C=3$$
现在观察C的邻居ABD之间的联系，A，B之间相连，但B,D和A,D之间都不存在联系，因此节点C的局部聚类系数为:$$C_C=\frac{1}{3}$$
局部聚类系数（Local Clustering Coefficient）衡量的是：一个节点的邻居之间，实际存在的连接占全部可能连接的比例。
对于简单无向网络，其取值通常介于0和1之间。

• 越接近1：该节点的邻居之间联系越密集。

• 越接近0：该节点的邻居之间联系越稀疏。

• 这里要特别注意，局部聚类系数高，不等于某个政府的治理能力强。它首先是一个网络结构指标。
  下面是根据例子的公式推导：

第一步：计算一个节点有多少个邻居

政府 C 的节点度是3，因此有3个邻居。

\[D_C=3 \]

第二步：计算这些邻居之间最多能有多少条边

A、B、D 三个邻居，两两组合：

\[\{A,B\},\quad \{A,D\},\quad \{B,D\} \]

共有3种组合。

对于一个节点度为\(D_i\)的节点，邻居之间可能存在的最大无向边数为：

\[\binom{D_i}{2}=\frac{D_i(D_i-1)}2 \]

这里的\(\binom{D_i}{2}\)表示从\(D_i\)个邻居中选取两个，不考虑顺序的组合数量。
代入\(D_C=3\)：

\[\frac{3(3-1)}2=3 \]

第三步：计算实际存在的邻居间连接

A—B 有连接，A—D 和 B—D 没有连接。

因此，实际存在的邻居间边数为1。

我们将它记为：

\[E_C=1 \]

第四步：计算实际连接比例

\[C_C=\frac{\text{实际存在的邻居间边数}}{\text{邻居间可能存在的最大边数}} \]

因此：

\[C_C=\frac{1}{3} \]

推广到任意节点\(i\)：

\[C_i=\frac{2E_i}{D_i(D_i-1)} \]

其中：

符号	含义
\(C_i\)	节点\(i\)的局部聚类系数
\(E_i\)	节点\(i\)的邻居之间实际存在的边数
\(D_i\)	节点\(i\)的度

在网络分析中，一种常见约定是：对于节点度小于2的节点，将其局部聚类系数定义为0，但也有分析方法在计算平均值时排除这些节点。
以上就是局部聚类系数的公式，衡量整个网络的局部聚集程度时，一种常见做法是计算所有节点局部聚类系数的平均值：$$AC=\frac1n\sum_{i=1}^n C_i$$
其中：

\[C_i= \begin{cases} \dfrac{2E_i}{D_i(D_i-1)},&D_i\ge2\\[6pt] 0,&D_i<2 \end{cases} \]

所以上图的平均聚类系数为：

\[AC=\frac{1+1+\frac13+0}{4} =\frac7{12}\approx0.583 \]

自我检查

如果在原来的四政府网络中，删除 A 与 B 之间的合作关系，但保留 C 与 A、B、D 的三条连接，那么政府 C 的节点度和局部聚类系数分别会发生什么变化？为什么？

政府C的节点度不变，聚类系数变为0。因为AB之间的合作关系没有了，但是C与ABD仍然相连，所以节点度不变。而C的邻居之间都不相连了，所以政府C的局部聚类系数变为了\(\frac03=0\)